Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#381

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Σεπ 17, 2023 7:43 pm Άσκηση 125

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \sqrt{ 1+2\sqrt {x-x^2}} \, dx$

Πιο απλά, χωρίς αλλαγή μεταβλητής:

$\displaystyle{\int \sqrt{ 1+2\sqrt {x-x^2}} \, dx= \int {\sqrt { \left (\sqrt x + \sqrt {1-x} \right )^2 }\, dx = \int (\sqrt x + \sqrt {1-x} )dx = \frac {2}{3} x^{3/2} - \frac {2}{3} (1-x)^{3/2}+c$

#382

Άσκηση 126

Αν , να βρεθεί το $\displaystyle{\int _1^{a^2} \dfrac { \ln x} { \sqrt{ x} (x+a) } \, dx$

Tolaso J Kos · #383

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Σεπ 21, 2023 7:04 pm Άσκηση 126

Αν , να βρεθεί το $\displaystyle{\int _1^{a^2} \dfrac { \ln x} { \sqrt{ x} (x+a) } \, dx$

Χαλό Μιχάλη,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{1}^{a^2}\frac{\ln x}{\sqrt{x}\left ( x+a \right )}\, \mathrm{d}x &\overset{u=\sqrt{x}}{=\! =\! =\! =\!} \int_{1}^{a}\frac{2u \ln u^2}{u(u^2+a)} \, \mathrm{d}u \\ &=4\int_{1}^{a}\frac{\ln u}{u^2+a}\, \mathrm{d}u \\ &\overset{(*)}{=}2 \ln a \int_{1}^{a}\frac{\mathrm{d}u}{u^2 +a} \\ &=2\ln a \left [ \frac{\arctan \frac{u}{\sqrt{a}}}{\sqrt{a}} \right ]_1^a \\ &= 2\ln a \left [ \frac{\arctan \sqrt{a}-\arctan \frac{1}{\sqrt{a}}}{\sqrt{a}} \right ] \\ &= -\ln a \left [ \frac{\pi -4 \arctan \sqrt{a}}{\sqrt{a}} \right ] \end{aligned}}$
(*)

Ποια αντικατάσταση έγινε στο βήμα εδώ;

Tolaso J Kos · #384

Tolaso J Kos έγραψε: Πέμ Σεπ 21, 2023 7:14 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Σεπ 21, 2023 7:04 pm Άσκηση 126

Αν , να βρεθεί το $\displaystyle{\int _1^{a^2} \dfrac { \ln x} { \sqrt{ x} (x+a) } \, dx$
Χαλό Μιχάλη,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{1}^{a^2}\frac{\ln x}{\sqrt{x}\left ( x+a \right )}\, \mathrm{d}x &\overset{u=\sqrt{x}}{=\! =\! =\! =\!} \int_{1}^{a}\frac{2u \ln u^2}{u(u^2+a)} \, \mathrm{d}u \\ &=4\int_{1}^{a}\frac{\ln u}{u^2+a}\, \mathrm{d}u \\ \end{aligned}}$

Συνεχίζουμε από δω.

$\displaystyle{\begin{aligned} &\!\!\!\!\!\!\overset{u = \sqrt{a}t}{=\! =\! =\!=\! =\!} 4 \sqrt{a}\int_{1/\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} \frac{\ln \sqrt{a}t}{a \left ( t^2+1 \right )} \, \mathrm{d}t \\ &=\frac{4}{\sqrt{a}} \int_{1/\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} \frac{\ln \sqrt{a} + \ln t}{t^2+1} \, \mathrm{d}t \\ &= \frac{2 \ln a}{\sqrt{a}} \int_{1/\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} \frac{\mathrm{d}t}{t^2+1} + \frac{4}{\sqrt{a}} \int_{1/\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} \frac{\ln t}{t^2+1} \, \mathrm{d}t \\ &=-\ln a \left ( \frac{\pi - 4 \arctan \sqrt{a}}{\sqrt{a}} \right ) \end{aligned}}$
διότι $\displaystyle{\int_{\alpha}^{1/\alpha} \frac{\ln x}{x^2+1} \, \mathrm{d}x = 0 }$ για κάθε $\alpha>0$ και $\displaystyle{\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}}$ για κάθε x>0

.

Tolaso J Kos έγραψε: Πέμ Σεπ 21, 2023 7:14 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Σεπ 21, 2023 7:04 pm Άσκηση 126

Αν , να βρεθεί το $\displaystyle{\int _1^{a^2} \dfrac { \ln x} { \sqrt{ x} (x+a) } \, dx$
Χαλό Μιχάλη,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{1}^{a^2}\frac{\ln x}{\sqrt{x}\left ( x+a \right )}\, \mathrm{d}x &\overset{u=\sqrt{x}}{=\! =\! =\! =\!} \int_{1}^{a}\frac{2u \ln u^2}{u(u^2+a)} \, \mathrm{d}u \\ &=4\int_{1}^{a}\frac{\ln u}{u^2+a}\, \mathrm{d}u \\ \end{aligned}}$

Επίσης, από δω μπορούμε να συνεχίσουμε με παραγοντική ολοκλήρωση.

#385

Άσκηση 127

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac { \sqrt [3] {x} + \sqrt [6] {x} } { \sqrt [6] {x^7} + \sqrt [3] {x^4} } \, dx$

ksofsa · #386

Για την άσκηση 127:

Για να έχει νόημα η έκφραση $\sqrt[6]{x}$ και να μη μηδενίζεται ο παρονομαστής, θεωρούμε ότι x> 0

.

Έχουμε:

$\int \dfrac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{x(\sqrt[6]{x}+\sqrt[3]{x})}dx=\int \dfrac{1}{x}dx=lnx+c$ .

#387

Άσκηση 128

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac { \sqrt [3] {x} + \sqrt [6] {x^3} } { \sqrt [6] {x^7} + \sqrt [3] {x^4} } \, dx$

Σχόλιο: Πρόκειται για το ξαδελφάκι της προηγούμενης. Άλλαξε μόνο ένας από τους εκθέτες, αλλά τώρα αλλάζει και η τεχνική αντιμετώπισης.

BAGGP93 · #388

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Σεπ 24, 2023 8:02 pm Άσκηση 128

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac { \sqrt [3] {x} + \sqrt [6] {x^3} } { \sqrt [6] {x^7} + \sqrt [3] {x^4} } \, dx$

Σχόλιο: Πρόκειται για το ξαδελφάκι της προηγούμενης. Άλλαξε μόνο ένας από τους εκθέτες, αλλά τώρα αλλάζει και η τεχνική αντιμετώπισης.

Στο $\left(0,\infty\right)$ έχουμε

$\begin{aligned} \int \dfrac { \sqrt [3] {x} + \sqrt [6] {x^3} } { \sqrt [6] {x^7} + \sqrt [3] {x^4} } \, dx&=\int \frac{x^{1/3}+x^{1/2}}{x^{7/6}+x^{8/6}} dx\\&=\int \frac{x^{1/3}(1+x^{1/6})}{x^{7/6}(1+x^{1/6})}dx\\&=\int x^{1/3-7/6}dx\\&=\int x^{-5/6} dx\\&=6\,x^{1/6}+c,\,\,c\in\mathbb R\end{aligned}$

Tolaso J Kos · #389

Άσκηση 129

Να υπολογιστεί το $\displaystyle{\int_{1}^{e} \frac{\left ( 3x+1 \right ) \sqrt{\ln x + x} + \left ( x+1 \right )^2}{x \sqrt{\ln x +x} \left ( \sqrt{x + \ln x} + x \right )} \, \mathrm{d}x }$ .

Tolaso J Kos · #390

Άσκηση 130

Έστω $\alpha, \beta>0$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}\frac{\left(t^2-\alpha\beta\right)\ln\bigl({\frac{t}{\alpha}}\bigr)\ln\bigl({\frac{t}{\beta}}\bigr)}{\left({t^2+\alpha^2}\right)\left({t^2+\beta^2}\right)} \, \mathrm{d}t}$

Tolaso J Kos · #391

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Δεκ 25, 2023 2:30 pm Άσκηση 130

Έστω $\alpha, \beta>0$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}\frac{\left(t^2-\alpha\beta\right)\ln\bigl({\frac{t}{\alpha}}\bigr)\ln\bigl({\frac{t}{\beta}}\bigr)}{\left({t^2+\alpha^2}\right)\left({t^2+\beta^2}\right)} \, \mathrm{d}t}$

Επαναφορά.

#392

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Δεκ 25, 2023 2:30 pm Άσκηση 130

Έστω $\alpha, \beta>0$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}\frac{\left(t^2-\alpha\beta\right)\ln\bigl({\frac{t}{\alpha}}\bigr)\ln\bigl({\frac{t}{\beta}}\bigr)}{\left({t^2+\alpha^2}\right)\left({t^2+\beta^2}\right)} \, \mathrm{d}t}$

Έχει απαντηθεί από τον θεματοθέτη, Τόλη, εδώ.

#393

Άσκηση 131

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac { 1} { x^3 \sqrt {x^2-1} } \, dx$

Tolaso J Kos · #394

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Σεπ 02, 2024 11:47 am Άσκηση 131

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac { 1} { x^3 \sqrt {x^2-1} } \, dx$

Χαλό Μιχάλη,

$\displaystyle{ \begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{x^3 \sqrt{x^2-1}} & =\int \frac{x}{x^4 \sqrt{x^2-1}} \, \mathrm{d}x\\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{x^2 = u^2+1}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int \frac{2u}{2u \left ( 1 + u^2 \right )^2} \, \mathrm{d}u \\ &= \int \frac{\mathrm{d}u}{\left ( 1 + u^2 \right )^2} \\ &= \frac{1}{2} \left ( \frac{u}{u^2+1} + \arctan u \right ) \\ &= \cdots \end{aligned}}$

#395

Άσκηση 131

Τόλη, ωραιότατα.

Άλλος τρόπος είναι η αλλαγή μεταβλητής $x= \sec u$ , oπότε το ολοκλήρωμα γίνεται

$\displaystyle{ \int \dfrac {\sec u \tan u}{\sec ^3 u \sqrt {\tan ^2 u}}du = \int \dfrac {1}{\sec ^2 u }du= \int \cos ^2 u du= \frac {1}{2} \int (\cos 2u +1) }du = ...}$

#396

Άσκηση 132

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \tan 2x \tan 3x \tan 5x \, dx$

(Με μία πονηριά βγαίνει εύκολα, αλλά χωρίς αυτήν χάνομαι στις πράξεις).

Tolaso J Kos · #397

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Ιουν 07, 2025 3:27 pm Άσκηση 132

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \tan 2x \tan 3x \tan 5x \, dx$

Ξεκινάμε με την απλή παρατηρήση ότι $\displaystyle{\tan 5x = \frac{\tan 3x + \tan 2x}{1 -\tan 3x \tan 2x}}$ . Άρα,

$\displaystyle{\tan 5x - \tan 2x \tan 3x \tan 5x = \tan 3x + \tan 2x \Leftrightarrow \tan 5x \tan 3x \tan 2x = \tan 5x - \tan 3x - \tan 2x }$
Οπόπε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int \tan 5x \tan 3x \tan 2x \, \mathrm{d}x &= \int \left( \tan 5x - \tan 3x - \tan 2x \right) \, \mathrm{d}x \\ & = \frac{\log \cos 2x}{2} + \frac{\log \cos 3x}{3} - \frac{\log \cos 5x}{5} + c \end{aligned}}$

#398

Άσκηση 133

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac {1+x^4}{1+x^6} \, dx$

mick7 · #399

$x^6 + 1 &= (x^2+1)\,(x^4 - x^2 + 1), \\[6pt]$

$\int \frac{x^4 + 1}{x^6 + 1}\,dx &= \int \frac{(x^4+1) - x^2 + x^2}{(x^2+1)(x^4 - x^2 +1)}\,dx \\[6pt] &= \int \Bigl(\frac{1}{x^2+1} + \frac{x^2}{x^6+1}\Bigr)\,dx \\[6pt] &= \int \frac{dx}{x^2+1} \;+\;\int \frac{x^2\,dx}{x^6+1} \\[6pt] &= \arctan(x) \;+\;\frac{1}{3}\,\arctan\bigl(x^3\bigr) + C$

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Ιουν 08, 2025 11:41 pm Άσκηση 133

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac {1+x^4}{1+x^6} \, dx$

#400

Άσκηση 134

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int _{-2}^{2}\ln (x+ \sqrt {1+x^2} ) \, dx$

Εννοείται ότι απαγορεύονται οι λύσεις με ΑΙ ή με λογισμικό. Στα παραπάνω, μερικές τέτοιες λύσεις είναι ορατές από χιλιόμετρα. Αν κάποιος δεν μπορεί να βγάλει κάποια άσκηση (που δεν είναι μεμπτό) τουλάχιστον ας την αφήσει να την χαρούν άλλοι.

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση