Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

KARKAR · #41

: διχ.png (5.96 KiB) Προβλήθηκε 3872 φορές

Πράγματι

με $k=\sqrt{x^2-3\sqrt{2}x+9}$ κ.λ.π.

Φυσικά τώρα η

υπολογίζεται και ευκολότερα ( π.χ. με Stewart}

#42

Με Stewart βρίσκουμε εύκολα $\displaystyle{{x} = \frac{{12\sqrt 2 }}{7}}$ (ή και με $\displaystyle{{x^2} = 12 - km = 12 - \frac{{15}}{7} \cdot \frac{{20}}{7} = ...}$ )

Στο σχήμα του Θανάση όμως, είναι και $\displaystyle{\kappa = \sqrt {{x^2} - 3x\sqrt 2 + 9} = \frac{{15}}{7}}$ . Λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε δύο ρίζες

$\displaystyle{{x_1} = \frac{{12\sqrt 2 }}{7}}$ (που είναι και η δεκτή λύση) και $\displaystyle{{x_2} = \frac{{9\sqrt 2 }}{7}}$ . Γιατί απορρίπτουμε την x_2;

To αφήνω ως ερώτημα.

KARKAR · #43

Η απόσταση του

από τη

( ύψος ) είναι $\dfrac{12}{5}$ και προφανώς $\dfrac{9\sqrt{2}}{7}<\dfrac{12}{5}$ ,

ενώ ασφαλώς : $AD>\dfrac{12}{5}$

#44

KARKAR έγραψε:Η απόσταση του από τη ( ύψος ) είναι $\dfrac{12}{5}$ και προφανώς $\dfrac{9\sqrt{2}}{7}<\dfrac{12}{5}$ ,

ενώ ασφαλώς : $AD>\dfrac{12}{5}$

dimplak · #45

dimplak έγραψε:9.

$\sqrt{x^2 + 16} - 2 \sqrt{x^2 - 3x + 4} = \sqrt{x+1} - 1$

Καλημέρα σε όλους!

Δίνω μια λύση για την 9.

Πρέπει $x \ge - 1$ .

Πολλαπλασιάζω και τα δύο μέλη πάνω και κάτω με τον αντίστοιχο συζυγή τους, οπότε έχουμε:

$\sqrt{x^2 + 16} - 2 \sqrt{x^2 - 3x + 4} = \sqrt{x+1} - 1 \Leftrightarrow$

$\frac{(x^2 + 16) - 4(x^2 - 3x + 4)}{\sqrt{x^2 + 16} + 2 \sqrt{x^2 - 3x + 4}} = \frac{x + 1 - 1}{ \sqrt{x+1} + 1} \Leftrightarrow$

$\frac{-3x^2 + 12x}{\sqrt{x^2 + 16} + 2 \sqrt{x^2 - 3x + 4}} = \frac{x}{ \sqrt{x+1} + 1} (1)$

Άρα μία λύση είναι x = 0

. Για $x \ne 0$ , από την (1)

έχουμε:

$\sqrt{x^2 + 16} + 2 \sqrt{x^2 - 3x + 4} = -3(x-4)(\sqrt{x+1} + 1) \Leftrightarrow$

Προσθέτω κατά μέλη την παραπάνω εξίσωση με την αρχική , οπότε προκύπτει ότι:

$2 \sqrt{x^2 +16} = (13 - 3x) \sqrt{x+1} + 11 - 3x \Leftrightarrow$ ( Παρατηρώ ότι το x = 3

είναι λύση της)

$2 \sqrt{x^2+ 16} - 10 = (13 - 3x) \sqrt{x+1} - 2(13 - 3x) + 16 - 6x + 11 - 3x \Leftrightarrow$

$2( \sqrt{x^2 + 16} - 5) = (13 - 3x) ( \sqrt{x+1} - 2) - 9(x - 3) \Leftrightarrow$

$\frac{2(x^2 - 9)}{\sqrt{x^2 + 16} + 5} = \frac{(13 - 3x)(x-3)}{\sqrt{x+1} + 2} - 9(x-3)} \Leftrightarrow$

$(x-3) \left [ \frac{2(x-3)}{\sqrt{x^2 + 16} +5} - \frac{13 - 3x}{\sqrt{x+1} + 2} + 9 \right ] = 0$ .

Οπότε και x = 3

και η παράσταση μέσα στην αγκύλη αποδεικνύεται ότι είναι θετική για $x \ge -1$ .

Συνεπώς οι λύσεις της εξίσωσης είναι x=0

ή

.

dimplak · #46

12.

$\sqrt{5x^2 - 5x +3} - \sqrt{7x-2} + 4x^2 - 6x + 1 = 0$ .

dimplak · #47

13.

$\frac{1}{\sqrt{1+x}} + \frac{1}{\sqrt{1-x}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - x^2}} = \sqrt{2} (x+1) + 2$

dimplak · #48

14.

$\sqrt[3]{7x+1} - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} + \sqrt[3]{x^2 - 8x - 1} = 2$ .

Υ.Γ. Υπήρχε τυπογραφικό λάθος! Διορθώθηκε!

dimplak · #49

15.

$\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{3-x}} = x - \frac{1}{2}$

dimplak · #50

16.

$\sqrt{2 x^2 - 6x + 8} = x \sqrt{2} + (5 - 4 \sqrt{2} ) \sqrt{x} + 4 \sqrt{2} - 6$

dimplak · #51

17.

$x - 2 \sqrt{x-1} + 2 \sqrt{7-x} = \sqrt{- x^2 + 8x - 7} + 1$

#52

dimplak έγραψε:15.

$\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{3-x}} = x - \frac{1}{2}$

Για $\displaystyle{ - 1 \leqslant x \leqslant 3,x \ne 1}$ η εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle{\frac{{\sqrt {x + 1} \left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} } \right)}}{{2(x - 1)}} = \frac{{2x - 1}}{2} \Leftrightarrow (x + 1) + \sqrt { - {x^2} + 2x + 3} = 2{x^2} - 3x + 1 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sqrt { - {x^2} + 2x + 3} = 2{x^2} - 4x}$ και με νέους περιορισμούς $\boxed{x \in [ - 1,0] \cup [2,3]}$ υψώνω στο τετράγωνο:

$\displaystyle{4{x^4} - 16{x^3} + 17{x^2} - 2x - 3 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{Horner} (x - 1)^2(4{x^2} - 8x - 3) = 0}$ , κι επειδή $x\ne 1$ , παίρνω τελικά $\boxed{x = \frac{{2 \pm \sqrt 7 }}{2}}$

maiksoul · #53

dimplak έγραψε:17.

$x - 2 \sqrt{x-1} + 2 \sqrt{7-x} = \sqrt{- x^2 + 8x - 7} + 1....(1)$

Η εξίσωση ορίζεται όταν $1\leq x\leq 7$ και τότε γίνεται:

$(1)\Leftrightarrow (\sqrt{x-1})^{2}-2\sqrt{x-1}+2\sqrt{7-x}=\sqrt{(x-1)(7-x)}\Leftrightarrow$

$\sqrt{x-1}(\sqrt{x-1}-2)-\sqrt{7-x}(\sqrt{x-1}-2)=0\Leftrightarrow$

$\sqrt{x-1}=2..\vee ..\sqrt{x-1}=\sqrt{7-x}\Leftrightarrow x=5..\vee ..x=4$

Οι τελευταίες είναι προφανώς δεκτές και (όλες) οι λύσεις της εξίσωσης.

dimplak · #54

18.

$\sqrt{x^2 + 3x + 2} + \sqrt{x^2 - 1} + 6 = 3 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 2} + 2 \sqrt{x - 1}$

dement · #55

dimplak έγραψε:18.

$\sqrt{x^2 + 3x + 2} + \sqrt{x^2 - 1} + 6 = 3 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 2} + 2 \sqrt{x - 1}$

Η εξίσωση γράφεται ως $\displaystyle (\sqrt{x+1} - 2)(\sqrt{x-1} + \sqrt{x+2} - 3) = 0$ (ο διαχωρισμός των ριζών στην παραγοντοποίηση είναι επιτρεπτός αφού οι ρίζες των παραγόντων εμφανίζονται και ξεχωριστά). Ο πρώτος παράγοντας μηδενίζεται για x=3

(αποδεκτή λύση). Ο δεύτερος είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση του

και μηδενίζεται για x=2

, οπότε αυτή είναι η μοναδική του ρίζα (αποδεκτή).

Έτσι, $x \in \{ 2, 3 \}$ .

dimplak · #56

dimplak έγραψε:14.

$\sqrt[3]{7x+1} - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} + \sqrt[3]{x^2 - 8x - 1} = 2$ .

Υ.Γ. Υπήρχε τυπογραφικό λάθος! Διορθώθηκε!

Διδακτικός προβληματισμός!

Έλυσα την παραπάνω εξίσωση στους πραγματικούς αριθμούς και βρήκα ότι είναι αδύνατη. Συγκεκριμένα βρήκα λύσεις χ=-1 , χ=1 , χ=9 και τις

απέρριψα!

Μετά την έλυσα στους μιγαδικούς αριθμούς και βρήκα λύσεις χ=0 και χ=1 που όμως είναι πραγματικοί αριθμοί.

Θα ήθελα την άποψη σας

Υ.Γ. Ενδιαφέρον παρουσιάζει και ο τρόπος λύσης!

#57

dimplak έγραψε:
dimplak έγραψε:14.

$\sqrt[3]{7x+1} - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} + \sqrt[3]{x^2 - 8x - 1} = 2$ .

Υ.Γ. Υπήρχε τυπογραφικό λάθος! Διορθώθηκε!

Διδακτικός προβληματισμός!

Έλυσα την παραπάνω εξίσωση στους πραγματικούς αριθμούς και βρήκα ότι είναι αδύνατη. Μετά την έλυσα στους μιγαδικούς αριθμούς και βρήκα λύσεις χ=0 και χ=1 που όμως είναι πραγματικοί αριθμοί.

Θα ήθελα την άποψη σας

Υ.Γ. Ενδιαφέρον παρουσιάζει και ο τρόπος λύσης!

Καλημέρα Δημήτρη, καλημέρα σε όλους!

Η εξίσωση έχει και μια "γνήσια" πραγματική ρίζα x=9

και αν δεχτούμε αρνητικά υπόρριζα στις κυβικές ρίζες (εμένα δεν μ' ενοχλεί καθόλου. Έτσι το διδάχτηκα ως μαθητής), τότε έχει και άλλη μία ρίζα x=-1

.

Επειδή όμως είμαστε σε φάκελο Β' Λυκείου και λύση μέσω μιγαδικών δεν επιτρέπεται, θα έλεγα ότι σύμφωνα με τα όσα έχουν διδαχθεί οι μαθητές, η εξίσωση έχει μία μόνο πραγματική ρίζα $\boxed{x=9}$

ΥΓ.1. Δεν την έλυσα ακόμα. Απλώς βρήκα αυτές τις λύσεις, ψάχνοντας για τιμές που να την επαληθεύουν.
ΥΓ.2. Όταν ξεκίνησα να γράφω οι λύσεις x=-1, x=9

δεν είχαν γραφτεί απ' τον Δημήτρη.

dimplak · #58

Καλημέρα κ. Γιώργο!

Πράγματι έκανα ένα λάθος στην εύρεση των περιορισμών και τελικά οι περιορισμοί είναι $x \ge 8,1231$ οπότε η λύση x=9

είναι δεκτή!!!

Ευχαριστώ για την επισήμανση!

Ο διδακτικός προβληματισμός όμως συνεχίζεται! Υπάρχει η αλήθεια της ελληνικής σχολικής ύλης, η αλήθεια της σχολικής ύλης στο εξωτερικό

ή η αλήθεια των μαθηματικών;

Άλλο ο χ=0 ο πραγματικός και άλλο ο χ=0 ο μιγαδικός;

Φιλικά,

Δημήτρης

#59

dimplak έγραψε: Ο διδακτικός προβληματισμός όμως συνεχίζεται! Υπάρχει η αλήθεια της ελληνικής σχολικής ύλης, η αλήθεια της σχολικής ύλης στο εξωτερικό

ή η αλήθεια των μαθηματικών; Άλλο ο χ=0 ο πραγματικός και άλλο ο χ=0 ο μιγαδικός;

Φιλικά,

Δημήτρης

Αυτή είναι μια μεγάλη κουβέντα και φαντάζομαι ότι πρέπει να έχει γίνει ανάλογη συζήτηση στο

Αν κάποιος γνωρίζει κάτι, ας δώσει μία παραπομπή.

Εγώ θα μιλήσω αποκλειστικά για τη γενιά μου. Ως μαθητές ξεκινήσαμε να διδασκόμαστε τη λύση της εξίσωσης 2ου βαθμού, έχοντας ήδη εισάγει την έννοια του φανταστικού και του μιγαδικού αριθμού. Έτσι θεωρούσαμε πάντα τους πραγματικούς υποσύνολο των μιγαδικών. Επομένως, όταν σε μία άσκηση ζητούσε να λυθεί μία εξίσωση (με πραγματικούς συντελεστές), την λύναμε απευθείας στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, χωρίς περαιτέρω εξηγήσεις. Δεν υπήρχε διαχωρισμός. Και νομίζω ότι είχε κάποια λογική.

Όπως για παράδειγμα, αν δοθεί η εξίσωση $\displaystyle{2x - 1 = 0}$ , γράφουμε $\displaystyle{x = \frac{1}{2}}$ και δεν λέμε είναι αδύνατη στο σύνολο των ακεραίων,

αλλά έχει μία λύση στους ρητούς, έτσι και τότε όταν δινόταν η εξίσωση $\displaystyle{{x^2} + 1 = 0}$ , γράφαμε απευθείας $\displaystyle{x = \pm i}$ , δίχως να

αναφέρουμε ότι δεν έχει λύση στους πραγματικούς. Με αυτό το σκεπτικό δεν βάζαμε περιορισμούς στις κυβικές ρίζες και

θεωρούσαμε όλες τις λύσεις δεκτές. Προσωπικά δεν καταλαβαίνω γιατί η εξίσωση $\displaystyle{{x^3} = - 1}$ έχει λύση x=-1

, ενώ η εξίσωση

$\displaystyle{\sqrt[3]{x} = - 1}$ είναι αδύνατη. Θα μπορούσα να πω κι άλλα, και θα το κάνω, αν ανοίξει τέτοια συζήτηση σε άλλο φάκελο φυσικά.

dimplak · #60

Κ. Γιώργο, συμφωνώ με όσα λέτε και νομίζω πως οι τεχνητοί περιορισμοί στο σχολικό βιβλίο γίνονται για διδακτικούς σκοπούς!

Φυσικά και θα ήθελα μια δημιουργική συζήτηση ή να ... εντοπιστούν όμοιες συζητήσεις στο φόρουμ για να δούμε και άλλες απόψεις!

....

Αυτήν την εβδομάδα με έχει παιδέψει η εξίσωση 13! Έχω αποδείξει ότι είναι δεκτή η λύση χ=0 αλλά υπάρχει άλλη μία που δεν μπορώ να αποδείξω

αλγεβρικά χωρίς ύλη γ λυκείου ίσως!

: graph.jpg (37.73 KiB) Προβλήθηκε 3634 φορές

Απευθύνω μεγάλη έκκληση σε όλα τα μαθηματικά μυαλά να βάλουμε τα δυνατά μας να τη λύσουμε για να πάψουν τα καταστρέφονται δάση στον

Αμαζόνιο για παραγωγή χαρτιού!

Φιλικά,

Δημήτρης

Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση