Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

[stergios7]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 35

Συζητούν δύο φίλοι και λέει ο ένας στον άλλο:
-Αν μου δώσεις τα μισά σου χρήματα τότε θα έχω ευρώ.
Απαντά ο άλλος:
-Αν εσύ μου δώσεις το ένα τρίτο των χρημάτων σου τότε θα έχω ευρώ.
Πόσα χρήματα έχει ο καθένας τους;

Αν ο πρώτος που μοιλάει έχει και ο δεύτερος που μοιλάει έχει τότε όταν ο δεύτερος δώσει στον πρώτο χρήματα θα έχουμε:

άρα αυτά είναι τα λεφτά του πρώτου
Άρα αν δώσει ο πρώτος λεφτά θα έχουμε





Άρα: ο πρώτος θα έχει ευρώ και ο δεύτερος ευρώ.

[gauss1988]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 35

Συζητούν δύο φίλοι και λέει ο ένας στον άλλο:
-Αν μου δώσεις τα μισά σου χρήματα τότε θα έχω ευρώ.
Απαντά ο άλλος:
-Αν εσύ μου δώσεις το ένα τρίτο των χρημάτων σου τότε θα έχω ευρώ.
Πόσα χρήματα έχει ο καθένας τους;

Μετά από την λύση του Στέργιου, ας δούμε και μια ακόμα, χρησιμοποιόντας μια μόνο μεταβλητη

Αν ο ένας έχει ευρώ, τότε ο άλλος θα έχει ευρώ.

Με βάση το πρόβλημα, θα έχουμε:



Άρα ο ένας έχει ευρώ και ο άλλος ευρώ.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 36: Ο Γιάννης και ο Νίκος ζουν σε ένα χωριό και έχουν κότες και κοκόρια. Όσα είναι τα κοκόρια του Γιάννη, τόσες είναι οι κότες του Νίκου. Κάποια μέρα ο Γιάννης αγόρασε όλα τα πουλερικά (κότες και κοκόρια) του Νίκου και βρέθηκε να έχει σύνολο 35. Αν στην αρχή τα δικά του ήταν 25, πόσα είναι τώρα τα κοκόρια του;

(Το πρόβλημα αυτό, πολύ παλιά το είχα ξαναβάλει στο mathematica, και αξίζει να το ξαναδούν και οι πιο νέοι μαθητές.)

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 37

Να διαιρέσετε το σε τέσσερα μέρη έτσι ώστε αν το πρώτο μέρος αυξηθεί κατά το δεύτερο μέρος ελαττωθεί κατά το τρίτο μέρος πολλαπλασιαστεί με το και το τέταρτο διαιρεθεί με τότε να γίνονται όλα ίσα.

[Mihalis_Lambrou]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 36: Ο Γιάννης και ο Νίκος ζουν σε ένα χωριό και έχουν κότες και κοκόρια. Όσα είναι τα κοκόρια του Γιάννη, τόσες είναι οι κότες του Νίκου. Κάποια μέρα ο Γιάννης αγόρασε όλα τα πουλερικά (κότες και κοκόρια) του Νίκου και βρέθηκε να έχει σύνολο 35. Αν στην αρχή τα δικά του ήταν 25, πόσα είναι τώρα τα κοκόρια του;

(Το πρόβλημα αυτό, πολύ παλιά το είχα ξαναβάλει στο mathematica, και αξίζει να το ξαναδούν και οι πιο νέοι μαθητές.)

Ας λυθεί χωρίς εξισώσεις. Αρκεί ένας απλός συλλογισμός της μιας γραμμής, και ζητώ (πρώτα) από τους μαθητές μας να τον σκεφτούν.

Μ.

[stergios7]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 36: Ο Γιάννης και ο Νίκος ζουν σε ένα χωριό και έχουν κότες και κοκόρια. Όσα είναι τα κοκόρια του Γιάννη, τόσες είναι οι κότες του Νίκου. Κάποια μέρα ο Γιάννης αγόρασε όλα τα πουλερικά (κότες και κοκόρια) του Νίκου και βρέθηκε να έχει σύνολο 35. Αν στην αρχή τα δικά του ήταν 25, πόσα είναι τώρα τα κοκόρια του;

(Το πρόβλημα αυτό, πολύ παλιά το είχα ξαναβάλει στο mathematica, και αξίζει να το ξαναδούν και οι πιο νέοι μαθητές.)

Ας λυθεί χωρίς εξισώσεις. Αρκεί ένας απλός συλλογισμός της μιας γραμμής, και ζητώ (πρώτα) από τους μαθητές μας να τον σκεφτούν.

Μ.

Ο Νίκος είχε κότες και κοκόρια και αφού οι κότες του Νίκου αντικαθιστούνται από τα κοκόρια του Γιάννη τότε θα έχουμε κοκόρια

[Mihalis_Lambrou]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 36: Ο Γιάννης και ο Νίκος ζουν σε ένα χωριό και έχουν κότες και κοκόρια. Όσα είναι τα κοκόρια του Γιάννη, τόσες είναι οι κότες του Νίκου. Κάποια μέρα ο Γιάννης αγόρασε όλα τα πουλερικά (κότες και κοκόρια) του Νίκου και βρέθηκε να έχει σύνολο 35. Αν στην αρχή τα δικά του ήταν 25, πόσα είναι τώρα τα κοκόρια του;

(Το πρόβλημα αυτό, πολύ παλιά το είχα ξαναβάλει στο mathematica, και αξίζει να το ξαναδούν και οι πιο νέοι μαθητές.)

Ας λυθεί χωρίς εξισώσεις. Αρκεί ένας απλός συλλογισμός της μιας γραμμής, και ζητώ (πρώτα) από τους μαθητές μας να τον σκεφτούν.

Μ.

Ο Νίκος είχε κότες και κοκόρια και αφού οι κότες του Νίκου αντικαθιστούνται από τα κοκόρια του Γιάννη τότε θα έχουμε κοκόρια

[stergios7]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 37

Να διαιρέσετε το σε τέσσερα μέρη έτσι ώστε αν το πρώτο μέρος αυξηθεί κατά το δεύτερο μέρος ελαττωθεί κατά το τρίτο μέρος πολλαπλασιαστεί με το και το τέταρτο διαιρεθεί με τότε να γίνονται όλα ίσα.

Αν
Τότε

Άρα








Άρα:

[george visvikis]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 38

Ένας σκύλος κυνηγάει μία αλεπού, η οποία προηγείται κατά πηδήματά της. Η αλεπού κάνει πηδήματα, ενώ ο σκύλος στον ίδιο χρόνο κάνει πηδήματα. Τα πηδήματα όμως του σκύλου ισοδυναμούν σε μήκος με πηδήματα της αλεπούς. Μετά από πόσα δικά του πηδήματα, ο σκύλος θα φτάσει την αλεπού;

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 39

Αγόρασε κάποιος έναν ζωγραφικό πίνακα και μετά πλήρωσε άλλα τόσα για την κορνίζα. Αν η κορνίζα κόστιζε ευρώ λιγότερο και και ο πίνακας ευρώ περισσότερο τότε τότε η κορνίζα θα κόστιζε το μισό του πίνακα. Πόσο κόστιζε ο πίνακας;

[stergios7]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 38

Ένας σκύλος κυνηγάει μία αλεπού, η οποία προηγείται κατά πηδήματά της. Η αλεπού κάνει πηδήματα, ενώ ο σκύλος στον ίδιο χρόνο κάνει πηδήματα. Τα πηδήματα όμως του σκύλου ισοδυναμούν σε μήκος με πηδήματα της αλεπούς. Μετά από πόσα δικά του πηδήματα, ο σκύλος θα φτάσει την αλεπού;

Αφού τα πηδήματα του σκύλου είναι ίσα με της αλεπούς, τότε το του σκύλου είναι ίσο με της αλεπούς και άρα τα του σκύλου είναι ίσα με της αλεπούς. Άρα στο χρόνο που ο σκύλος κάνει και η αλεπού ο σκύλος της παίρνει μισό πήδημα άρα για να φτάσει τα που είναι η διαφορά ο σκύλος θα κάνει πηδήματα.

[stergios7]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 39

Αγόρασε κάποιος έναν ζωγραφικό πίνακα και μετά πλήρωσε άλλα τόσα για την κορνίζα. Αν η κορνίζα κόστιζε ευρώ λιγότερο και και ο πίνακας ευρώ περισσότερο τότε τότε η κορνίζα θα κόστιζε το μισό του πίνακα. Πόσο κόστιζε ο πίνακας;

Αν η τιμή της κορνίζας και του πίνακα τότε:



ευρώ κόστιζε ο πίνακας.

[Ηλιας Φραγκάκος]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 8

Ένας ποδηλάτης διανύει μιαν απόσταση μεταξύ δύο πόλεων σε ώρες . Αν αυξήσει την ταχύτητά του κατά ,

θα κερδίσει μισή ώρα . Πόσο θα διαρκέσει η διαδρομή αν οδηγήσει με ταχύτητα κατά μικρότερη της αρχικής ;

Ο ποδηλάτης σε λεπτά της ώρας, τρέχοντας με ταχύτητα , έτρεξε μια απόσταση .
Ο ίδιος ποδηλάτης σε λεπτά, με ταχύτητα αυτή τη φορά έτρεξε την ίδια απόσταση .
Άρα: και
Αφού πάει να πει ότι και
Δηλαδή: και έτσι Άρα: και .
Με ταχύτητα χιλιόμετρα ανά ώρα έτρεξε σε λεπτά (τρεις, δηλαδή, ώρες) χιλιόμετρα και με χιλιόμετρα ανά ώρα χρειάστηκε λεπτά. Με ταχύτητα χλμ/ώρα θα χρειαστεί λεπτά της ώρας.
Γεια σου Θοδωρή κι Ελπίδα.

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 40

Στην λαϊκή του Αιγάλεω ο Χρήστος πουλάει αυγά. Το πρώτο Σάββατο πούλησε τα μισά του αυγά και μισό αυγό χωρίς να σπάσει κανένα!!!!!.Το δεύτερο Σάββατο πούλησε απ’όσα του είχαν απομείνει τα μισά και μισό αυγό χωρίς πάλι να σπάσει κανένα!!!! Το τρίτο Σάββατο πούλησε απ’όσα του είχαν απομείνει τα μισά και μισό αυγό χωρίς πάλι να σπάσει κανένα!!!!Στο τέλος αγόρασα και έγω το τελευταίο του αυγό. Πόσα αυγά είχε συνολικά.

[xr.tsif]

ΣΠΥΡΟΟΟΟ
το βρήκααααααα

[Ηλιας Φραγκάκος]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 40

Στην λαϊκή του Αιγάλεω ο Χρήστος πουλάει αυγά. Το πρώτο Σάββατο πούλησε τα μισά του αυγά και μισό αυγό χωρίς να σπάσει κανένα!!!!!.Το δεύτερο Σάββατο πούλησε απ’όσα του είχαν απομείνει τα μισά και μισό αυγό χωρίς πάλι να σπάσει κανένα!!!! Το τρίτο Σάββατο πούλησε απ’όσα του είχαν απομείνει τα μισά και μισό αυγό χωρίς πάλι να σπάσει κανένα!!!!Στο τέλος αγόρασα και έγω το τελευταίο του αυγό. Πόσα αυγά είχε συνολικά.

Εγώ αυτά τα προβλήματα τα λύνω πηγαίνοντας ανάποδα: Αφού του είχε μείνει ένα, τότε θα πρέπει να είχε αυγά. Εφαρμόζουμε το ίδιο κόλπο και για τις υπόλοιπες περιπτώσεις:
Άρα ο Χρήστος πήγε στη λαϊκή με αυγά.
Καλή Χρονιά και υγεία σε όλους τους θεράποντες των Μαθηματικών.

[stergios7]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 40

Στην λαϊκή του Αιγάλεω ο Χρήστος πουλάει αυγά. Το πρώτο Σάββατο πούλησε τα μισά του αυγά και μισό αυγό χωρίς να σπάσει κανένα!!!!!.Το δεύτερο Σάββατο πούλησε απ’όσα του είχαν απομείνει τα μισά και μισό αυγό χωρίς πάλι να σπάσει κανένα!!!! Το τρίτο Σάββατο πούλησε απ’όσα του είχαν απομείνει τα μισά και μισό αυγό χωρίς πάλι να σπάσει κανένα!!!!Στο τέλος αγόρασα και έγω το τελευταίο του αυγό. Πόσα αυγά είχε συνολικά.

Με εξίσωση αν τα αβγά βγαίνει ότι:
Την πρώτη μέρα του έμειναν:

Την δεύτερη μέρα του έμειναν:

Την τρίτη μέρα του έμεινε που είναι ίσο με:
Άρα

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 41

Δύο αριθμοί έχουν λόγο Aν προσθέσουμε το και στους δύο τότε ο λόγος τους γίνεται Bρείτε τους αριθμούς.

Παραμένουν αναπάντητα τα προβλήματα 10,12,21,22,23,24,41.

[mathxl]

41

Αν ο ένας αριθμός είναι ο ο άλλος θα είναι ο .
Επειδή θα είναι , διότι .

Έχουμε

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή




Άρα οι ζητούμενοι αριθμο΄θ είναι οι: και .

Χρησιμοποίησα ιδιότητες αναλογιών (τμηματικά). Αν θυμάμαι καλά τα ανάλογα ποσά είναι στην α γυμνασίου και οι ιδιότητες στην γ (αν ισχύει κάτι τέτοιο να σβήσω αυτήν την λύση και να γράψω μια εντός φακέλου).

[george visvikis]

Πολύ καλή η ιδέα του Παύλου!

Ένα "ρεαλιστικό πρόβλημα" της καθημερινής ζωής.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 12

Ο Αντώνης αγοράζει κουτιά αναψυκτικό στη λιανική τους τιμή. Στο ταμείο του καταστήματος όμως βλέπει μία διαφήμιση προσφοράς στο συγκεκριμένο αναψυκτικό, η οποία φαίνεται στο σχήμα. Με τα ίδια χρήματα αγοράζει κουτιά επιπλέον. Ποια είναι η λιανική τιμή του αναψυκτικού;

Το συνημμένο 22-10-2012 Β Γυμνασίου.jpg δεν είναι πλέον διαθέσιμο

22-10-2012 Β Γυμνασίου.jpg (12.16 KiB) Προβλήθηκε 7907 φορές

Έστω η λιανική τιμή του αναψυκτικού. Τα λοιπόν κουτιά στοιχίζουν €.

Με τη νέα τιμή της προσφοράς αγοράζει κουτιά πληρώνοντας € λιγότερα από την αρχική τιμή και δίνει όσα θα έδινε αγοράζοντας κουτιά στη λιανική τιμή. Έχουμε λοιπόν την εξίσωση:

€