Αρχιμήδης 2014-2015

#81

socrates έγραψε:Άσκηση 15
Έστω ένας θετικός ακέραιος. Τοποθετούμε αυθαίρετα στην περιφέρεια ενός κύκλου τους αριθμούς Σε κάθε χορδή που ενώνει δύο από αυτά τα σημεία αντιστοιχούμε έναν αριθμό που είναι ίσος με την απόλυτη τιμή της διαφοράς των αριθμών σε αυτά τα σημεία.
Να δείξετε ότι μπορούμε να επιλέξουμε μη τεμνόμενες ανά δύο χορδές τέτοιες ώστε το άθροισμα των αριθμών που αντιστοιχούν σε αυτές να ισούται με

Επαναφορά!

#82

raf616 έγραψε:
socrates έγραψε:Άσκηση 24
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f : \Bbb{N}^* \to \Bbb{N}^∗$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{(x, f(y)) [f(x), y] = (x, y) [f(x), f(y)]}$ για κάθε $x, y \in \Bbb{N}^∗.$
Πολύ όμορφη άσκηση!

Για προκύπτει

Για είναι

Η τελευταία λόγω της πρώτης γίνεται:

$(x, f(1))f(x) = [f(1), x] \iff \boxed{f(x) = \dfrac{[x, f(1)]}{(x, f(1))} = \dfrac{xf(1)}{(x, f(1))^2}}:(1)$ , αφού $[a, b] = \dfrac{ab}{(a, b)}$ .

Έστω τώρα δύο αριθμοί $m, n \in \Bbb{N^{*}}$ με .

Γράφω τότε με .

Τότε και όπως προκύπτει από την .

Αντικαθιστώντας στην αρχική προκύπτει:

$\displaystyle{(f(1)m', n')[m', f(1)n'] = f(1)[m', n'] \iff (f(1)m', n')\dfrac{m'n'f(1)}{(m', f(1)n')} = f(1)\dfrac{m'n'}{(m', n')} \iff (f(1)m', n') = (m', f(1)n')}$

Μπορώ να διαλέξω τέτοιο ώστε και τέτοιο ώστε . Τότε και . Άρα, .

Έτσι, $f(x) = x, \forall x \in \Bbb{N^{*}}$ , που επαληθεύει.

*Ελπίζω να είναι σωστή! Για τυχόν λάθη pm me!