ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

[mathxl]

Ευχαριστούμε Σπύρο για τον χρόνο που διέθεσες και το μεράκι που έδειξες. Νασαι καλά

[ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ]

Ωραία δουλειά Σπύρο . Ευχαριστούμε .

[A.Spyridakis]

Πού είναι εκείνο το αρχείο για τη Β' τώρα???

[nkatsipis]

Ευχαριστούμε πάρα πολύ...
Το αρχείο είναι καταπληκτικό!

Νίκος Κατσίπης

[gtk1994]

Γεια σας, είμαι καινούριος στο mathematica και αυτό θα είναι το πρώτο μου post. Γι αυτό μη με κρίνετε πολύ αυστηρά
Θα ήθελα να δώσω μια προσέγγιση (αν και αργοπορημενα) στο 2ο ερωτημα της ασκησης 21

Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι φυσικός.

Έχουμε την παράσταση

Την χρησιμοποιούμε σαν εξίσωση και έχουμε...


Όμως,
Άρα, η εξίσωση γίνεται :


και εδώ έχουμε μια δευεροβάθμια εξίσωση με λύσεις ή
Όμως, η δεύτερη λύση απορρίπτεται καθώς έχουμε το α ισούται με ρίζα θετικού αριθμού
Άρα, α=2
Θα ήθελα να μου πείτε αν αυτή η προσέγγιση είναι δεκτή γιατί είμαι μαθητής της Α' Λυκείου και δε έχω μπει ακόμα στα κατατόπια του απείρου

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

Kαλώς ήλθες gtk1994 στην μεγάλη παρέα μας

[k-ser]

Θα ήθελα να μου πείτε αν αυτή η προσέγγιση είναι δεκτή γιατί είμαι μαθητής της Α' Λυκείου και δε έχω μπει ακόμα στα κατατόπια του απείρου

Άσκηση 21
i) Να βρεθεί δευτεροβάθμια εξίσωση που εχει ρίζες του αριθμούς και .
ii) Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι φυσικός.

Χμμμμ.

Η ι) χ^2 - χ - 2 = 0 . Ως εδώ όλα καλά.
Η ιι) οδηγεί στην που είναι η ίδια με την ι) αλλά υπάρχει ένα μεγάλο "αλλά".

Αν θέλουμε να μείνουμε σε μαθηματική αυστηρότητα, τότε η παράσταση παρουσιάζει πρόβλημα. Ο ορισμός της απαιτεί διαδικασία ορίου, που είναι εκτός ύλης.
Βέβαια, αυτό το γεγονός μας δίνει την ευκαιρία για γόνιμη συζήτηση με τα παιδιά. Αν τους διαβεβαιώσουμε ότι μπορούμε να χειριστούμε την παράσταση σαν να ήταν αλγεβρική, έχουμε ενδιαφέρουσα άσκηση + συζήτηση.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

"gtk1994", καλώς ήλθες στο mathematica.
Η απόδειξή σου είναι πολύ καλή, όπως το ίδιο καλή είναι και η διαίσθησή σου για το άπειρο.
Για την πλήρη απόδειξή της,είναι απαραίτητο να δικαιολογήσουμε ότι η παράσταση είναι πραγματικός αριθμός και μάλιστα ο ίδιος αν παραλείψουμε έναν πεπερασμένο αριθμό ριζών μαζί με το πρώτο 2 που περιέχει η καθεμιά. Κάτι τέτοιο μπορεί να γίνει με όρια ακολουθιών τα οποία δεν είναι εντός σχολικής ύλης.

Ένα παράδειγμα που θα σε βοηθούσε να καταλάβεις καλύτερα αυτό που θέλω να πω είναι και το εξής:
Να υπολογιστεί η παράσταση α=1-1+1-1+.....
-Κάποιος μαθητής απαντάει: Εύκολο! α=(1-1)+(1-1)+(1-1)+....=0+0+0+.....=0.
-Ένας δεύτερος μαθητής κάνει το εξής: α=1+(-1+1-1+.....)=1+[(-1+1)+(-1+1)+....]=1+(0+0+0+.....)=1.
-Ένας τρίτος μαθητής κάνει κάτι πιο δύσκολο: α=1+(-1+1-1+....) και α=(1-1+1-....). Προσθέτουμε κατά μέλη και παίρνουμε:
2α=1+(-1+1-1+....)+(1-1+1-....)=1+[(-1+1)+(1-1)+.... ]=1. Άρα α=0,5.

Οι τρεις μαθητές βρήκαν τρία διαφορετικά αποτελέσματα για το α.
Γιατί; Ποιος από τους τρεις έχει δίκιο;

Απάντηση:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Η παράσταση α=1-1+1-1+.... δεν είναι πραγματικός αριθμός!

[gtk1994]

Ευχαριστώ πολυ!!!!
Τώρα πήρα μία γεύση για το τί θα πει μη πεπερασμένη ακολουθία

[Μάκης Χατζόπουλος]

Ένα παράδειγμα που θα σε βοηθούσε να καταλάβεις καλύτερα αυτό που θέλω να πω είναι και το εξής:
Να υπολογιστεί η παράσταση α=1-1+1-1+.....
-Κάποιος μαθητής απαντάει: Εύκολο! α=(1-1)+(1-1)+(1-1)+....=0+0+0+.....=0.
-Ένας δεύτερος μαθητής κάνει το εξής: α=1+(-1+1-1+.....)=1+[(-1+1)+(-1+1)+....]=1+(0+0+0+.....)=1.
-Ένας τρίτος μαθητής κάνει κάτι πιο δύσκολο: α=1+(-1+1-1+....) και α=(1-1+1-....). Προσθέτουμε κατά μέλη και παίρνουμε:
2α=1+(-1+1-1+....)+(1-1+1-....)=1+[(-1+1)+(1-1)+.... ]=1. Άρα α=0,5.

Οι τρεις μαθητές βρήκαν τρία διαφορετικά αποτελέσματα για το α.
Γιατί; Ποιος από τους τρεις έχει δίκιο;

Απάντηση:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Η παράσταση α=1-1+1-1+.... δεν είναι πραγματικός αριθμός!

Κώστα εκπληκτό παράδειγμα, και όχι απαραίτητα για μαθητές! Αυτά έπρεπε να διδάσκουν στα ΠΕΚ από να μας λένε τα κατορθώματά τους και πόσο ουάου καθηγητές είναι, και πόσο τους αγαπάνε οι μαθητές και και όλο θεωρία και τίποτα πράξη και ουσία....

[nkatsipis]

Για την πλήρη απόδειξή της,είναι απαραίτητο να δικαιολογήσουμε ότι η παράσταση είναι πραγματικός αριθμός και μάλιστα ο ίδιος αν παραλείψουμε έναν πεπερασμένο αριθμό ριζών μαζί με το πρώτο 2 που περιέχει η καθεμιά. Κάτι τέτοιο μπορεί να γίνει με όρια ακολουθιών τα οποία δεν είναι εντός σχολικής ύλ

Ένα παράδειγμα που θα σε βοηθούσε να καταλάβεις καλύτερα αυτό που θέλω να πω είναι και το εξής:
Να υπολογιστεί η παράσταση α=1-1+1-1+.....
-Κάποιος μαθητής απαντάει: Εύκολο! α=(1-1)+(1-1)+(1-1)+....=0+0+0+.....=0.
-Ένας δεύτερος μαθητής κάνει το εξής: α=1+(-1+1-1+.....)=1+[(-1+1)+(-1+1)+....]=1+(0+0+0+.....)=1.
-Ένας τρίτος μαθητής κάνει κάτι πιο δύσκολο: α=1+(-1+1-1+....) και α=(1-1+1-....). Προσθέτουμε κατά μέλη και παίρνουμε:
2α=1+(-1+1-1+....)+(1-1+1-....)=1+[(-1+1)+(1-1)+.... ]=1. Άρα α=0,5.

Οι τρεις μαθητές βρήκαν τρία διαφορετικά αποτελέσματα για το α.
Γιατί; Ποιος από τους τρεις έχει δίκιο;

Απάντηση:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Η παράσταση α=1-1+1-1+.... δεν είναι πραγματικός αριθμός!

Κώστα εκπληκτό παράδειγμα, και όχι απαραίτητα για μαθητές! Αυτά έπρεπε να διδάσκουν στα ΠΕΚ από να μας λένε τα κατορθώματά τους και πόσο ουάου καθηγητές είναι, και πόσο τους αγαπάνε οι μαθητές και και όλο θεωρία και τίποτα πράξη και ουσία....

Αναφέρω επίσης μια σχετική συζήτηση είχε γίνει εδώ, πριν από αρκετό καιρό.
Πράγματι, πολύ όμορφο και διδακτικό το παράδειγμα!

Νίκος Κατσίπης