Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

dimplak · #81

30.

$\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2 + x}}} = x$

#82

dimplak έγραψε: 28.

$\sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{x - x^2 + 1} = x^2 - x + 2$

Με Cauchy-Schwarz έχουμε

$\sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{x - x^2 + 1} \leq 2\sqrt{x}\leq x+1\leq x^2 - x + 2$

με ισότητα μόνο στο x=1.

#83

dimplak έγραψε: 30.

$\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2 + x}}} = x$

Θέλουμε $0\leq x\leq 2,$ οπότε υπάρχει $\theta \in [0,\pi/2]$ ώστε $\displaystyle{x=2\cos \theta... }$

#84

dimplak έγραψε: 24.

$x^3 + 3x^2 - 3 \sqrt[3]{3x+5} = 1- 3x$

$\displaystyle{\iff f(i)=f^{-1}(i)}$ όπου i=x+1

και $\displaystyle{f(x)=\frac{x^3-2}{3}...}$

dimplak · #85

31.

$\sqrt{x^2 + 1} + x = \frac{1}{(x^2 + 1) \sqrt{x^2 + 1}}$

STOPJOHN · #86

dimplak έγραψε: 31.

$\sqrt{x^2 + 1} + x = \frac{1}{(x^2 + 1) \sqrt{x^2 + 1}}$

Η δοθείσα εξίσωση γράφεται
$(x^{2}+1)^{2}+x(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}=1\Leftrightarrow x^{4}+2x^{2}+x(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}=0\Leftrightarrow x=0,x^{3}+2x+(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}=0,(1)$
H λύση x=0

είναι δεκτή ,επαληθεύει την δοθείσα εξίσωση.
$(1)\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+1}=-\dfrac{x(x^{2}+2)}{x^{2}+1},(2),x<0, (2)\Leftrightarrow x^{4}+x^{2}-1=0,x=-\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}}$ ,

η οποία είναι δεκτή λύση

Γιάννης

KARKAR · #87

32 .

$\sqrt{x^2-2x+5}=1+\sqrt{2x-x^2}$

#88

KARKAR έγραψε:32 .

$\sqrt{x^2-2x+5}=1+\sqrt{2x-x^2}$

Για $\displaystyle{0 \leqslant x \leqslant 2}$ , θέτω 2x-x^2=t

και η εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle{\sqrt {5 - t} = 1 + \sqrt t \mathop \Leftrightarrow \limits^{0 \leqslant t \leqslant 5} 5 - t = 1 + t + 2\sqrt t \Leftrightarrow 2 - t = \sqrt t \mathop \Leftrightarrow \limits^{0 \leqslant t \leqslant 2} {t^2} - 5t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1}$ (η ρίζα t=4

απορρίπτεται)

Άρα: $\displaystyle{2x - {x^2} = 1 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow }$ $\boxed{x=1}$

STOPJOHN · #89

KARKAR έγραψε:32 .

$\sqrt{x^2-2x+5}=1+\sqrt{2x-x^2}$

$0\leq x\leq 2$

Θέτουμε $w=x^{2}-2x$
Και η δοθείσα γράφεται

$\sqrt{w+5}=1+\sqrt{-w},(*),-5<w<0, (*)\Leftrightarrow \sqrt{-w}=2+w,w>-2, w^{2}+5w+4=0,w=-4,w=-1, x^{2}-2x=-1\Leftrightarrow x=1$ δεκτή λύση
H λύση w=-4

απορρίπτεται

Γιάννης

#90

KARKAR έγραψε:32 .

$\sqrt{x^2-2x+5}=1+\sqrt{2x-x^2}$

Εναλλακτικά μπορούμε να θέσουμε 2x-x^2=t^2

, οπότε $\displaystyle{\sqrt {5 - {t^2}} = 1 + t \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1}$

( η άλλη ρίζα είναι αρνητική και απορρίπτεται), άρα $\boxed{x=1}$

dimplak · #91

33.

$16^{(x+1 - \sqrt{2x + 1})^2} \cdot 8^{\sqrt{2x+1}} = 4^{x+2}$

KARKAR · #92

34.

$\sqrt{x^2+x-12}+\sqrt{-x^2+x+6}=x^2-5x+6$

hlkampel · #93

KARKAR έγραψε:34.

$\sqrt{x^2+x-12}+\sqrt{-x^2+x+6}=x^2-5x+6$

Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

$\sqrt {\left( {x + 4} \right)\left( {x - 3} \right)} + \sqrt {\left( {2 - x} \right)\left( {x - 3} \right)} = \left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)$

Για να έχει ρίζα στο

πρέπει:

$\left( {x + 4} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 4\,\,\dot \eta \,\,x \ge 3$ και

$\left( {2 - x} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le 3$ και

$\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2\,\,\dot \eta \,\,x \ge 3$

Οι περιορισμοί συναληθεύουν αν x = 3

η οποία τιμή ικανοποιεί την εξίσωση.

Άρα μοναδική λύση είναι η x = 3

dimplak · #94

dimplak έγραψε: 33.

$16^{(x+1 - \sqrt{x^2 + 1})^2} \cdot 8^{\sqrt{2x+1}} = 4^{x+2}$

Ζητώ συγγνώμη! Εκ παραδρομής latex στην πρώτη ρίζα έβαλα x^2

αντί για

!

η σωστή εκφώνηση είναι $16^{(x+1 - \sqrt{2x + 1})^2} \cdot 8^{\sqrt{2x+1}} = 4^{x+2}$

Η λύση σίγουρα θα σας αποζημιώσει!

Ευχαριστώ τον κ. Βισβίκη για την επισήμανση!

#95

dimplak έγραψε: 33.

$16^{(x+1 - \sqrt{2x + 1})^2} \cdot 8^{\sqrt{2x+1}} = 4^{x+2}$

Θέτω $\displaystyle{2x + 1 = {t^2} \ge 0 \Leftrightarrow x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}}$ και η εξίσωση μετά τις ιδιότητες των δυνάμεων γράφεται:

$\displaystyle{4{\left( {\frac{{{t^2} + 1}}{2} - t} \right)^2} + 3t = {t^2} + 3 \Leftrightarrow {t^4} - 4{t^3} + 5{t^2} - t - 2 = 0}$ και με Horner

$\displaystyle{(t - 2)({t^3} - 2{t^2} + t + 1) = 0 \Leftrightarrow (t - 2)\left[ {t{{(t - 1)}^2} + 1} \right] = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{t \ge 0} }$ $\boxed{t=2}$ Άρα: $\boxed{x = \frac{3}{2}}$

dimplak · #96

35.

$\sqrt{3x^3 + 2x^2 + 2} + \sqrt{-3x^3 + x^2 + 2x - 1} = 2(x^2 + x + 1)$

KARKAR · #97

36.

$\displaystyle \sqrt{x^3+x^2-1}+\sqrt{-x^3+x^2+1}=x^4-x^2+2$

KARKAR · #98

dimplak έγραψε:35.

$\sqrt{3x^3 + 2x^2 + 2} + \sqrt{-3x^3 + x^2 + 2x - 1} = 2(x^2 + x + 1)$

Λήμμα : Για κάθε μη αρνητικό αριθμό

είναι $\sqrt{a}\leq\dfrac{a+1}{2}$ . Απόδειξη απλή ...

Αν λοιπόν ο

είναι ρίζα της εξίσωσης , τότε : $\sqrt{3x^3 + 2x^2 + 2}\leq\dfrac{3x^3+2x^2+3}{2}$

και $\sqrt{-3x^3 + x^2 + 2x - 1}\leq\dfrac{-3x^2+x^2+2x}{2}$ , συνεπώς :

$\sqrt{3x^3 + 2x^2 + 2} + \sqrt{-3x^3 + x^2 + 2x - 1} \leq\dfrac{3x^2+2x+3}{2}$ ,

δηλαδή : $2x^2+2x+2\leq\dfrac{3x^2+2x+3}{2}$ ή $4x^2+4x+4\leq 3x^2+2x+3$ ή τελικά

$(x+1)^2\leq 0$ , που δίνει x=-1

, η οποία τιμή επαληθεύει την αρχική , άρα είναι η λύση της .

dimplak · #99

KARKAR έγραψε:
dimplak έγραψε:35.

$\sqrt{3x^3 + 2x^2 + 2} + \sqrt{-3x^3 + x^2 + 2x - 1} = 2(x^2 + x + 1)$
Λήμμα : Για κάθε μη αρνητικό αριθμό είναι $\sqrt{a}\leq\dfrac{a+1}{2}$ . Απόδειξη απλή ...

Αν λοιπόν ο είναι ρίζα της εξίσωσης , τότε : $\sqrt{3x^3 + 2x^2 + 2}\leq\dfrac{3x^3+2x^2+3}{2}$

και $\sqrt{-3x^3 + x^2 + 2x - 1}\leq\dfrac{-3x^2+x^2+2x}{2}$ , συνεπώς :

$\sqrt{3x^3 + 2x^2 + 2} + \sqrt{-3x^3 + x^2 + 2x - 1} \leq\dfrac{3x^2+2x+3}{2}$ ,

δηλαδή : $2x^2+2x+2\leq\dfrac{3x^2+2x+3}{2}$ ή $4x^2+4x+4\leq 3x^2+2x+3$ ή τελικά

$(x+1)^2\leq 0$ , που δίνει , η οποία τιμή επαληθεύει την αρχική , άρα είναι η λύση της .

Εξαιρετική λύση, κ. Θανάση! Λύση κομψή, έξυπνη και με μαθηματική αισθητική!

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #100

KARKAR έγραψε:36.

$\displaystyle \sqrt{x^3+x^2-1}+\sqrt{-x^3+x^2+1}=x^4-x^2+2$

Χρησιμοποιώντας παρόμοια μέθοδο

...

$\sqrt{x^3+x^2-1}\leq \dfrac{x^3+x^2}{2}$ (1)

$\sqrt{-x^3+x^2+1}\leq \dfrac{-x^{3}+x^2+2}{2}$ (2)

Προσθέτουμε τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη. Έχουμε:

$x^4-x^2+2=\sqrt{x^3+x^2-1}+ \sqrt{-x^3+x^2+1}\leq$ $\dfrac{2x^2+2}{2}=x^2+1\Rightarrow x^4-2x^2+1\leq0\Rightarrow$ $(x^2-1)^2\leq0\Rightarrow x^2-1=0\Rightarrow x=1$ ή x=-1

.

Όμως η ρίζα x=-1

απορρίπτεται, γιατί τότε η ρίζα $\sqrt{x^3+x^2-1}$ δεν θα οριζόταν. Άρα x=1

η οποία επαληθεύει την αρχική.

Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση