Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#81

ΑΣΚΗΣΗ 21

Για πραγματικούς θέτουμε . Αν , να αποδειχθεί ότι $28s_{11}=11s_7s_4$ .

#82

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Νοέμ 11, 2017 8:14 am ΑΣΚΗΣΗ 21

Για πραγματικούς θέτουμε . Αν , να αποδειχθεί ότι $28s_{11}=11s_7s_4$ .

Ας είναι $\displaystyle{x^4-kx+m=0}$ εξίσωση με ρίζες τις $\displaystyle{a,b,c,d,}$ όπου $\displaystyle{k=abc+bcd+cda+dab, m=abcd.}$

Είναι $\displaystyle{a^4=ka-m\implies \boxed{s_4=-4m}.}$

Επίσης $\displaystyle{a^3=k-\frac{m}{a}\implies s_3=4k-m\frac{k}{m}=3k}$ (αν κάποιος είναι ίσος με μηδέν, ισχύει προφανώς)

άρα $\displaystyle{\boxed{s_3=3k}}$ .

Είναι ακόμα

$\displaystyle{a^{5}=ka^2-ma\implies a^{10}=k^2a^4+m^2a^2-2kma^3\implies a^{11}=k^2a^5+m^2a^3-2kma^4\implies }$

$\displaystyle{\implies s_{11}=k^2s_5+m^2s_3-2kms_4\implies \boxed{s_{11}=11km^2},}$ αφού προφανώς $\displaystyle{s_5=0.}$

Τέλος, είναι

$\displaystyle{a^7=ka^4-ma^3\implies s_7=ks^4-ms^3\implies \boxed{s_7=-7km}.}$

Η ζητούμενη είναι πλέον φανερή.

#83

ΑΣΚΗΣΗ 22

Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{ 1 + x + \frac {x(x+1)}{2!}+ ... \, + \frac {x(x+1)...(x+n-1)}{n!}=0}$

Γιάννης Μπόρμπας · #84

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Δεκ 29, 2017 12:13 am ΑΣΚΗΣΗ 22

Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{ 1 + x + \frac {x(x+1)}{2!}+ ... \, + \frac {x(x+1)...(x+n-1)}{n!}=0}$

Καλησπέρα σας κ.Λάμπρου και χρόνια πολλά!
Ορίζουμε $P_n(x)=1+x+...+\frac{x(x+1)...(x+n-1)}{n!}$ .
Αρχικά θα δείξουμε ότι:
P_n(-n)=0

.
Πράγματι: $P_n(-n)=1+(-n)+\frac{(-n)(-n+1)}{2!}+...+(-1)^n= 1-n+\frac{n(n-1)}{2}-...+(-1)^n$ =
$\binom{n}{0}-\binom{n}{1}+...+(-1)^n\binom{n}{n}=0$ .
Στην συνέχεια παρατηρούμε ότι:
$P_{n+1}(x)-P_n(x)=\frac{x(x+1)...(x+n)}{(n+1)!}$ άρα
εάν -1,-2,...,-n

είναι ρίζες του P_n(x)

τότε είναι και του $P_{n+1}(x)$ .
Πράγματι $P_{n+1}(-i)-P_n(-i)=0 \forall i=\{1,2, ..., n\}$ .
Το πολυώνυμο έχει βαθμό

άρα και το πολύ

ρίζες, αφού όμως $P_n(-i)=0, i=\{1,2, ...,n\}$ τότε:
$\boxed{x=\{-1, -2, ..., -n\}}$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης.

#85

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: Παρ Δεκ 29, 2017 5:37 am
$P_{n+1}(x)-P_n(x)=\frac{x(x+1)...(x+n)}{(n+1)!}$ άρα

Κλέβοντας από την λύση, μπορούμε να δείξουμε επαγωγικά ότι $\displaystyle{P_n(x)=\frac{(x+1)(x+2)...(x+n)}{n!}}$ , από όπου αμέσως οι ρίζες.

#86

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Δεκ 29, 2017 12:13 am ΑΣΚΗΣΗ 22

Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{ 1 + x + \frac {x(x+1)}{2!}+ ... \, + \frac {x(x+1)...(x+n-1)}{n!}=0}$

Άλλη μία λύση, βασιζόμενος στο πως μοιάζει ο κάθε όρος.
Η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{\sum_{r=0}^n\binom{x+r-1}{r}=0.}$
Όμως από γνωστή ταυτότητα το αριστερό μέλος ισούται με $\displaystyle{\binom{x-1+1+n}{n}=\binom{x+n}{n}=\frac{(x+1)(x+2)...(x+n)}{n!}.}$

#87

ΑΣΚΗΣΗ 23

Να αποδειχθεί ότι για φυσικούς με , το διαιρεί το αν και μόνον .

Γιάννης Μπόρμπας · #88

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Δεκ 29, 2017 5:25 pm ΑΣΚΗΣΗ 23

Να αποδειχθεί ότι για φυσικούς με , το διαιρεί το αν και μόνον .

Έστω

φυσικοί τέτοιοι ώστε: x^m-a^m|x^n-a^n

.
Έστω

με $0\leq u<m$ .
Τότε $x^m-a^m|x^{km+u}-a^{km+u}$ . (1)
Όμως $x^m-a^m|x^u(x^{km}-a^{km})=x^{km+u}-x^ua^{km}$ . (2)
Αφαιρώντας την (2) από την (1) έχουμε: $x^m-a^m|a^{km}(x^u-a^u)$ .
Αφού όμως u<m

πρέπει

άρα $n=km\implies m|n$

#89

ΑΣΚΗΣΗ 24

Έστω $a_0, \, a_1, \, ... \, a_n$ πραγματικοί (ή μιγαδικοί) αριθμοί με $|a_0| \ge 1$ και $| a_k| \le 1$ για $1\le k \le n$ . Δείξτε ότι κάθε ρίζα $\rho$ της ικανοποιεί $|\rho | > \dfrac {1}{2}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #90

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Δεκ 29, 2017 12:13 am ΑΣΚΗΣΗ 22

Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{ 1 + x + \frac {x(x+1)}{2!}+ ... \, + \frac {x(x+1)...(x+n-1)}{n!}=0}$

Στο ίδιο μήκος κύματος με τον Σιλουανό.
Εκτός φακέλλου.
Γράφω ακριβώς πως πήγε η σκέψη μου

Για $x\in \mathbb{R},n\in \mathbb{N}$

είναι $\binom{x}{n}=\dfrac{x(x-1)..(x-n+1)}{n!},\binom{x}{0}=1$

Η εξίσωση γράφεται

$\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{-x}{k}=0$ (0)

Ειναι γνωστό ότι $(1+t)^{a}=\sum_{k=0}^{\infty }\binom{a}{k}t^{k}$

για

σε κατάλληλο διάστημα.

Προκύπτει άμεσα η

$(1-t)^{a}=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\binom{a}{k}t^{k}$ (1)

Αν $a\in \mathbb{N}$ τότε

για $k> a,k\in \mathbb{N}$ είναι $\binom{a}{k}=0$

και η (1) ισχύει για $t\in \mathbb{R}$ και άρα για t=1

Δηλαδή $0=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\binom{a}{k}$

Η τελευταία έχει ρίζες τα 1,2,3....

Ετσι η (0) έχει ρίζες τα -1,-2,.....-n

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #91

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Δεκ 29, 2017 5:25 pm ΑΣΚΗΣΗ 23

Να αποδειχθεί ότι για φυσικούς με , το διαιρεί το αν και μόνον .

Αν θέσουμε $p_{n}(x)=x^{n}-a^{n}$ τότε ο Ευκλείδιος αλγόριθμος για τα $n,m\in \mathbb{N}$

μεταβιβάζεται στα $p_{n}(x),p_{m}(x)$

Αυτό συμβαίνει γιατί αν $n=mk+u,0\leq u< m$

τότε
$x^{n}-a^{n}=(x^{km})x^{u}-(a^{km})a^{u}=x^{u}(x^{km}-a^{km})+a^{km}(x^{u}-a^{u})=(x^{m}-a^{m})q(x)+a^{km}(x^{u}-a^{u})$

Ετσι παίρνουμε το ζητούμενο.
Να σημειώσω ότι ισχύει για πολυώνυμα τέτοιας μορφής σε οποιοδήποτε σώμα.

#92

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Δεκ 29, 2017 7:51 pm ΑΣΚΗΣΗ 24

Έστω $a_0, \, a_1, \, ... \, a_n$ πραγματικοί (ή μιγαδικοί) αριθμοί με $|a_0| \ge 1$ και $| a_k| \le 1$ για $1\le k \le n$ . Δείξτε ότι κάθε ρίζα $\rho$ της ικανοποιεί $|\rho | > \dfrac {1}{2}$ .

Έστω ότι υπάρχει ρίζα $\rho$ με $|\rho|\leq\dfrac{1}{2}$

Τότε λόγω της $a_0=-a_n\rho^n- a_{n-1}\rho^{n-1}- \cdots - a_1\rho$ παίρνουμε

$\begin{aligned} |a_0| &= \left|a_n\rho^n+ a_{n-1}\rho^{n-1} + \cdots + a_1\rho\right|\leq |a_n||\rho|^n+|a_{n-1}||\rho|^{n-1}+\cdots +|a_1||\rho| \\ &\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^n+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}+ \cdots + \dfrac{1}{2} \\ &= 1-\dfrac{1}{2^n}<1\end{aligned}$

άτοπο διότι $|a_0|\geq 1$ . Άρα για όλες τις ρίζες $\rho$ της εξίσωσης ισχύει $|\rho|>\dfrac{1}{2}$

Αλέξανδρος

#93

ΑΣΚΗΣΗ 25

Να αποδειχθεί ότι για φυσικούς με , το διαιρεί το αν και μόνον .

#94

matha έγραψε: Σάβ Δεκ 30, 2017 1:13 am ΑΣΚΗΣΗ 25

Να αποδειχθεί ότι για φυσικούς με , το διαιρεί το αν και μόνον .

Αν

τότε $\displaystyle{x^n-1= (x^{m})^{2k}-1= \left ((x^{m})^{k}-1\right )\left ((x^{m})^{k}+1\right )= \left (x^{m}-1\right )\left ((x^{m})^{k-1}+...+x^{m}+1\right )\left ((x^{m})^{k}+1\right )}$

που δείχνει την μία κατεύθυνση. Αντίστροφα (με χρήση των απαγορευμένων μιγαδικών) αν x^m+1

διαιρεί το x^n-1

τότε η ρίζα $\displaystyle{e^{\pi i/m}}$ του αριστερού θα είναι ρίζα του δεξιού, του οποίου όμως ξέρουμε όλες τις ρίζες: Είναι οι $\displaystyle{e^{2k\pi i/n}, \, 0\le k \le n-1}$ . Έτσι, υπάρχει

με $\displaystyle{e^{\pi i/m}=e^{2k\pi i/n}}$ , οπότε για κάποιο

είναι $\displaystyle{\pi i/m = 2k\pi i/n + 2N \pi i}}$ . Άρα n=2(k+Nn)m

, όπως θέλαμε.

#95

Μία εύκολη.

ΑΣΚΗΣΗ 26

Αν $k, \, a_1, \, a_2, \, ... \, a_k$ θετικοί φυσικοί αριθμοί, δείξτε ότι το πολυώνυμο $\displaystyle{x^{k-1} +x^{k-2} +... + x+ 1}$ διαιρεί το $\displaystyle{x^{ka_1} +x^{ka_2+1}+ ... + x^{ka_k+k-1}.}$

sot arm · #96

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Ιαν 05, 2018 10:18 am Μία εύκολη.

ΑΣΚΗΣΗ 26

Αν $k, \, a_1, \, a_2, \, ... \, a_k$ θετικοί φυσικοί αριθμοί, δείξτε ότι το πολυώνυμο $\displaystyle{x^{k-1} +x^{k-2} +... + x+ 1}$ διαιρεί το $\displaystyle{x^{ka_1} +x^{ka_2+1}+ ... + x^{ka_k+k-1}.}$

Αρκεί να δείξω ότι αν ένας αριθμός είναι ρίζα του πρώτου πολυωνύμου, τότε είναι και του δευτέρου, έστω

μία ρίζα του πρώτου, έχω:
$\displaystyle{z^{k-1} +z^{k-2} +... + z+ 1 =0 \Rightarrow (z-1)(z^{k-1} +z^{k-2} +... + z+ 1)=0 \Rightarrow z^{k}=1}$

Θα χρησιμοποιήσω το εξής γνωστό:
Αν $\displaystyle{z^{k}=1 \wedge a=b(modk) \Rightarrow z^{a}=z^{b}}$
καθότι: $\displaystyle{z^{a}=z^{b+kl}=z^{b}\cdot (z^{k})^{l}=z^{b}}$

με την χρήση αυτού έχω :
$\displaystyle{z^{ka_1} +z^{ka_2+1}+ ... + z^{ka_k+k-1}= z^{k-1} +z^{k-2} +... + z+ 1 =0}$
Άρα κάθε ρίζα του πρώτου είναι και ρίζα του δεύτερου και το ζητούμενο έπεται.

#97

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Ιαν 05, 2018 10:18 am Μία εύκολη.

ΑΣΚΗΣΗ 26

Αν $k, \, a_1, \, a_2, \, ... \, a_k$ θετικοί φυσικοί αριθμοί, δείξτε ότι το πολυώνυμο $\displaystyle{x^{k-1} +x^{k-2} +... + x+ 1}$ διαιρεί το $\displaystyle{x^{ka_1} +x^{ka_2+1}+ ... + x^{ka_k+k-1}.}$

Και διαφορετικά:

Ας είναι $\displaystyle{g(x)=x^{k-1} +x^{k-2} +... + x+ 1, f(x)=x^{ka_1} +x^{ka_2+1}+ ... + x^{ka_k+k-1}.}$

Είναι $\displaystyle{g(x)|f(x)\iff g(x)|\left(f(x)-g(x)\right)}$ .

Όμως

$\displaystyle{f(x)-g(x)=(x^{ka_1}-1)+x(x^{ka_2}-1)+\cdots +x^{k-1}(x^{ka_k}-1)}$ και κάθε παρένθεση είναι της μορφής $\displaystyle{x^{km}-1=(x^k)^m-1=(x^k-1)(\cdots )=g(x)(x-1)(\cdots).}$

#98

sot arm έγραψε: Παρ Ιαν 05, 2018 11:06 am
Αρκεί να δείξω ότι αν ένας αριθμός είναι ρίζα του πρώτου πολυωνύμου, τότε είναι και του δευτέρου,

Πρέπει όμως να ελεγχθεί και ο βαθμός της κάθε ρίζας.

sot arm · #99

Demetres έγραψε: Παρ Ιαν 05, 2018 3:08 pm
sot arm έγραψε: Παρ Ιαν 05, 2018 11:06 am
Αρκεί να δείξω ότι αν ένας αριθμός είναι ρίζα του πρώτου πολυωνύμου, τότε είναι και του δευτέρου,
Πρέπει όμως να ελεγχθεί και ο βαθμός της κάθε ρίζας.

Έχετε δίκιο, προσθέτω περαιτέρω αιτιολόγηση, συγκεκριμένα θα δείξουμε ότι κάθε ρίζα έχει πολλαπλότητα 1.
Με απευθείας υπολογισμό βλέπουμε ότι το 1 δεν αποτελεί ρίζα, κάνω ακριβώς το ίδιο με πριν:

$\displaystyle{z^{k-1}+z^{k-2}+...+1=0 \Rightarrow z^{k}=1}$

βρίσκουμε τις κ-1 ρίζες:

$\displaystyle{z_{n}=cos(\frac{2n\pi}{k})+isin(\frac{2n\pi}{k}) , n\in {1,2,..,k-1}}$
(κανονικά θα είχαμε και λύση για n=k

που απορρίπτεται)
και αφού το πλήθος των (διακεκριμένων) ριζών είναι ίσες με τον βαθμό του πολυωνύμου όλες έχουν πολλαπλότητα 1 και νομίζω ότι τώρα είναι επαρκής η αιτιολόγηση.

#100

Μόλις την παρέλαβα για επίλυση, από Ρουμανία. Την τοποθετώ στον παρόντα φάκελο αν και θυμίζει άσκηση
Θεωρίας Αριθμών, γιατί ο ίδιος την έλυσα με πολυώνυμα.

ΑΣΚΗΣΗ 27

Δείξτε ότι αν ο αριθμός είναι πρώτος, τότε για κάποιο φυσικό .

Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση