"Σύστημα...Πλευρών τριγώνου"

chris · #1

Δίνεται τυχαίο τρίγωνο με πλευρές a,b,c

για τις οποίες ισχύει:

$\displaystyle \begin{cases} a^2+b^2+c^2=10 \\ a^4+b^4+c^4=18 \\ \end{cases}$

A)Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώνου.

Β)Να αποδειχθεί οτι δεν υπάρχει τρίγωνο με τα παραπάνω δεδομένα αν επιπλέον ισχύει a^6+b^6+c^6=60

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

kwstas12345 · #2

Ωραία άσκηση Χρήστο.Aπό τον τύπο του Ήρωνα αν

η ημιπερίμετρος θα έχουμε:

$\displaystyle E=\sqrt{s\left(s-a \right)\left(s-b \right)\left(s-c \right)}=\sqrt{\frac{\left(a+b+c \right)\left(-a+b+c \right)\left(a-b+c \right)\left(a+b-c \right)}{16}}$ $\displaystyle =\frac{1}{4}\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4}$ .

Υψώνοντας την πρώτη σχέση στο τετράγωνο θα πάρω: $\displaystyle \left(\sum{a^{2}} \right)^{2}=100\Leftrightarrow \sum{a^{4}}+2\sum{a^{2}b^{2}}=100\Leftrightarrow 2\sum{a^{2}b^{2}}=$

.

Άρα με αντικατάσταση πάνω έχω $\displaystyle E=\frac{1}{4}\sqrt{2\sum{a^{2}b^{2}}-\sum{a^{4}}}=\frac{1}{4}\sqrt{82-18}=2$ .

Για το δεύτερο ερώτημα: Θεωρούμε $\displaystyle a\geqslant b\geqslant c,a,b,c>0$ . Οι τριάδες $\displaystyle \left(a^{2},b^{2},c^{2} \right),\left(a^{4},b^{4},c^{4} \right)$ έχουν όμοια διάταξη άρα από την ανισότητα Chebychev: $\displaystyle \frac{a^{6}+b^6+c^6}{3}\geqslant \frac{\left(a^2+b^2+c^2 \right)}{3}\cdot\frac{\left(a^4+b^4+c^4 \right)}{3}$

Άν αντικαταστήσω με τις τιμες τις τιμές που δίνονται θα προκύψουν τα δύο μέλη ίσα ,άρα αφού ισχύει η ισότητα θα είναι a=b=c

. Άν ισχύει αυτό

η πρώτη δίνει $\displaystyle a^{2}=\frac{10}{3}$ και η δέυτερη αρχική $\displaystyle 3a^{4}=18\Leftrightarrow a^{2}=\sqrt{6}\neq \frac{10}{3}$ .

Άρα δεν υπάρχουν λύσεις του συστήματος $\displaystyle \begin{cases} a^2+b^2+c^2=10 \\ a^4+b^4+c^4=18 \\ a^6+b^6+c^6=60 \end{cases}$ και κατα συνέπεια τρίγωνο με πλευρές a,b,c

#3

chris έγραψε:Δίνεται τυχαίο τρίγωνο με πλευρές για τις οποίες ισχύει:

$\displaystyle \begin{cases} a^2+b^2+c^2=10 \\ a^4+b^4+c^4=18 \\ \end{cases}$

A)Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώνου.

Χμμμμμ. Αν κάνω καλά τις πράξεις, δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο γιατί η λύση του συστήματος είναι μη πραγματικοί φανταστικοί αριθμοί:

Μας δίνεται $a^2+b^2=10-c^2, \, a^4+b^4=18-c^4$ .

Από την $2(x^2 + y^2) \ge (x+y)^2$ έχουμε $2(a^4+b^4)\ge (a^2+b^2)^2$ δηλαδή

$2(18-c^4) \ge (10-c^2)^2= 100 - 20c^2 + c^4$ άρα

$0 \ge 64 - 20c^2 + 3c^4 = \left(8 - \frac {5c^2}{4}\right)^2 + \frac {23c^4}{16}$ . Άτοπο στο $\mathbb R$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

chris · #4

Όντως δεν μπορεί να υπάρχει τέτοιο τρίγωνο.Το έχω συζητήσει ήδη με τν κύριο Μπεληγιάννη και τον Κώστα.Για να μην χαλάσει η ασκηση αρκεί να "πειράξουμε" λίγο τα νούμερα.Σας ευχαριστώ για την επισήμανση.

Φιλικά

"Σύστημα...Πλευρών τριγώνου"

"Σύστημα...Πλευρών τριγώνου"

Re: "Σύστημα...Πλευρών τριγώνου"

Re: "Σύστημα...Πλευρών τριγώνου"

Re: "Σύστημα...Πλευρών τριγώνου"

Μέλη σε σύνδεση