Ύπαρξη συνάρτησης

#1

Μία πολύ όμορφη άσκηση που βρήκα σήμερα και τη μοιράζομαι μαζί σας:

Υπάρχει παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο συνάρτηση

στο διάστημα $\left[0,+\infty\right)$ , η οποία να παίρνει θετικές τιμές στο ίδιο διάστημα και για την οποία να ισχύει $f^{\prime}(x) \geq f^2(x), \ \ \forall \ x\geq 0$ ;

Αλέξανδρος

mathxl · #2

Μία μεταμεσονύκτια προσέγγιση με επιφύλαξη΄

Έστω ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση τότε
η $\displaystyle{g\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}} + x}$ έχει μη θετική παράγωγο αφού $\displaystyle{g^{\prime}\left( x \right) = - \frac{{f^{\prime}\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \le 0}$
οπότε η g είναι φθίνουσα
μχμχμ...όμως $\displaystyle{f^{\prime}\left( x \right) \ge {f^2}\left( x \right) > 0}$ άρα η f γνησίως αύξουσα, θα έχει ελάχιστο το f(0) και θα υπάρχει το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)}$ θετικός αριθμός ή +άπειρο
Είναι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{f\left( x \right)}} + x} \right) = + \infty }$ , ανεξάρτητα της τιμής του ορίου της f, άρα επειδή η g είναι φθίνουσα για οποιαδήποτε τιμή του χ, αναμένουμε τιμές μεγαλύτερες ή ίσες του +οο. Άτοπο

k-ser · #3

Να συμπληρώσω την απόδειξη του Βασίλη και να παρατηρήσω ότι
δεν είναι απαραίτητο: η συνέχεια της $f^{\prime}(x)$ και οι θετικές τιμές της f -αρκεί $f(x) \ne 0$ .

Από Θ.Μ.Τ. στο [0,x], για x>0, υπάρχει $x_0\in(0,x)$ ώστε: $\color{red}\displaystyle f^{\prime}(x_0)=\frac{f(x)-f(0)}{x} \geq f^2(x_0)$
Άρα
$\color{red} f(x)\geq xf^2{x_0)+f(0)$
Οπότε
$\color{red} \mathhop {\lim}\limts_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$

Ακόμα, λόγω της μονοτονίας της g, θα πρέπει:
$\displaystyle g(x)\leq \frac{1}{f(0)}$ , $\forall x>0$

Άρα $\displaystyle +\infty \leq \frac{1}{f(0)}$ . Άτοπο.

Ύπαρξη συνάρτησης

Ύπαρξη συνάρτησης

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση