|z|

#1

Aν ο μιγαδικός z ικανοποιεί τη σχέση :
z+|z|=2+8i
τότε το $\displaystyle{ |z|^2 }$
ισούται με :

(Α) 68 (Β) 100 (Γ) 169 (Δ) 208 (Ε) 289

(Παρακαλώ τους συναδέλφους προς αναλυτική λύση...

)

papel · #2

Ε 289.

#3

chris_gatos έγραψε: (Παρακαλώ τους συναδέλφους προς αναλυτική λύση... )

Χρήστο, να μου επιτρέψεις να κλέψω λίγο. Ξέρω ότι ακριβώς μία από τις απαντήσεις είναι σωστή και υποψιάζομαι ότι η λύση είναι τέλειο τετράγωνο. Γι' αυτό ελέγχω πρώτα τα (Β),(Γ) και (Ε)

(Β) Αν |z| = 10

, τότε

και άρα

, άτοπο.
(Γ) Αν |z| = 13

, τότε

και άρα

, άτοπο.
(Ε) Αν |z| = 17

, τότε

το οποίο επαληθεύει.

#4

Nα κλέψεις όσο θέλεις , Δημήτρη.
Αρκεί να βλέπουν όλοι οι ενδιαφερόμενοι και άλλους,διαφορετικούς τρόπους σκέψης. Σ'ευχαριστώ για την ενασχόληση.

A.Spyridakis · #5

mathxl · #6

Πολύ ωραία λύση Αντώνη, μου θύμ ησε τις ασκήσεις έυρεσης μέτρου διανυσμάτων της μορφής δ=(|δ|,3)=|δ|i+3j

A.Spyridakis · #7

mathxl έγραψε:Πολύ ωραία λύση Αντώνη, μου θύμ ησε τις ασκήσεις έυρεσης μέτρου διανυσμάτων της μορφής δ=(|δ|,3)=|δ|i+3j

Χεχεχε!!! Κάθε χρόνο βάζω στην κατ/ση (Β) ένα τέτοιο τεστ

.

ΥΓ Thanks!

#8

chris_gatos έγραψε:Aν ο μιγαδικός z ικανοποιεί τη σχέση :
z+|z|=2+8i
τότε το $\displaystyle{ |z|^2 }$
ισούται με :

(Α) 68 (Β) 100 (Γ) 169 (Δ) 208 (Ε) 289

(Παρακαλώ τους συναδέλφους προς αναλυτική λύση... )

Και άλλη μία λύση: Αν z = x + iy, παίρνοντας μιγαδικά μέρη της δοθείσας έπεται ότι y = 8.
Πίσω στην αρχική, δίνει $x + \sqrt{x^2 + 8^2} = 2\,$ και λοιπά.

Μ.

Α.Κυριακόπουλος · #9

Demetres έγραψε:
chris_gatos έγραψε: (Παρακαλώ τους συναδέλφους προς αναλυτική λύση... )
Χρήστο, να μου επιτρέψεις να κλέψω λίγο. Ξέρω ότι ακριβώς μία από τις απαντήσεις είναι σωστή και υποψιάζομαι ότι η λύση είναι τέλειο τετράγωνο. Γι' αυτό ελέγχω πρώτα τα (Β),(Γ) και (Ε)

(Β) Αν , τότε και άρα , άτοπο.
(Γ) Αν , τότε και άρα , άτοπο.
(Ε) Αν , τότε το οποίο επαληθεύει.

• Έχω τη γνώμη ότι τα θέματα πολλαπλής επιλογής δεν έχουν το νόημα να λύσουμε την άσκηση , να βρούμε το αποτέλεσμα και να το σημειώσουμε στα προτεινόμενα. Τότε ποια θα ήταν η διαφορά αν μας ζητούσαν απλά να βρούμε το $\displaystyle{{\left| z \right|^2}}$ ; Μη μου πει κάποιος ότι μας βοηθάνε να βλέπουμε αν βρήκαμε σωστό αποτέλεσμα, γιατί ο χρόνος στις εξετάσεις δεν μας επιτρέπει να τις λύσουμε δύο φορές. Τότε, δεν θα λύσουμε κάποια άλλη άσκηση . Η φιλοσοφία τους είναι χρησιμοποιώντας τη θεωρία και με λογικά επιχειρήματα να αποκλείσουμε όλες τις απαντήσεις εκτός από μια, που θα είναι και η ζητούμενη. Μη μου πει πάλι κάποιος ότι μπορεί να έχουμε δύο σωστές απαντήσεις, γιατί τότε δεν θα είναι άσκηση πολλαπλής επιλογής.
• Κατά τη γνώμη μου, η μόνη ενδεδειγμένη λύση είναι του Δημήτρη, με λίγο περισσότερη ανάλυση. Και βέβαια, αν ήταν πράγματι άσκηση πολλαπλής επιλογής, δηλαδή αν δεν ήταν τόσο εύκολο να λύσουμε την εξίσωση και να βρούμε τελικά το |z|.
• Γενικά, από τις ασκήσεις πολλαπλής επιλογής που βλέπω, ένα 5% είναι πράγματι ασκήσεις πολλαπλής επιλογής. Στις άλλες, είναι εύκολο να λύνουμε κανονικά το πρόβλημα και να απαντάμε. Δηλαδή ακυρώνεται η φιλοσοφία των ασκήσεων του τύπου αυτού.
• Κατά τη γνώμη μου, οι πραγματικές ασκήσεις του τύπου αυτού είναι πολύ καλές για αξιολόγηση, γιατί συνδυάζουν γνώσεις, κριτική ικανότητα, παρατηρητικότητα και λογική.

Mihalis_Lambrou έγραψε:
chris_gatos έγραψε:Aν ο μιγαδικός z ικανοποιεί τη σχέση :
z+|z|=2+8i
τότε το $\displaystyle{ |z|^2 }$
ισούται με :

(Α) 68 (Β) 100 (Γ) 169 (Δ) 208 (Ε) 289

(Παρακαλώ τους συναδέλφους προς αναλυτική λύση... )
Και άλλη μία λύση: Αν z = x + iy, παίρνοντας μιγαδικά μέρη της δοθείσας έπεται ότι y = 8.
Πίσω στην αρχική, δίνει $x + \sqrt{x^2 + 8^2} = 2\,$ και λοιπά.

Μ.

•Aφού όμως, για να απαντήσουμε προσπαθούμε να βρούμε το z, δεν μπορώ να καταλάβω, γιατί μια άσκηση που λύνεται με τον κλασικό τρόπο που γράφει ο Μιχάλης, προσπαθούμε να την λύσουμε με τεχνάσματα, δηλαδή προσπαθούμε να την κάνουμε δυσκολότερη από ότι είναι. Άλλωστε, ο κλασικός αυτός τρόπους δεν έχει πολλές πράξεις. Αναλύω λίγο περισσότερο τον τρόπο του Μιχάλη:
Θέτουμε z=x+yi, όπου $\displaystyle{x,y \in R.}$ Έτσι έχουμε:
$\displaystyle{\begin{array}{l} z + |z| = 2 + 8i \Leftrightarrow x + yi + \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 2 + 8i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 2 \\ y = 8 \\ \end{array} \right. \\ {\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + \sqrt {{x^2} + {8^2}} = 2{\rm{ (1)}} \\ y = 8{\rm{ (2)}} \\ \end{array} \right. \\ \end{array}}$
Έχουμε:
$\displaystyle{(1) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 64} = 2 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2 - x > 0 \\ {x^2} + 64 = {\left( {2 - x} \right)^2} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 15}$ .
Άρα, ο μοναδικός μιγαδικος αριθμός που πληροί την δοσμένη ισότητα, είναι: $\displaystyle{z = - 15 + 8i}$ . Συνεπώς; |z|=17.
• Και μια τελευταία απορία: Η άσκηση αυτή είναι θέμα για τον ΑΣΕΠ;

#10

Δάσκαλε Αντώνη , καλημέρα

Θα απαντήσω στο τελευταίο σου ερώτημα , με τα εξής:

''Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ , με ορθή τη γωνία Α, ισχύει η σχέση:

$\displaystyle{ \frac{1}{{\left( {{\rm A}{\rm B}} \right)^2 }} + \frac{1}{{\left( {{\rm A}\Gamma } \right)^2 }} = \frac{1}{{x^2 }} }$
Τι αντιπροσωπεύει το χ;Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.''

ΘΕΜΑ ΑΣΕΠ 2000

Επιπροσθέτως:

''Δίνεται η άρτια συνάρτηση f(χ), χ πραγματικός, με παραγώγους τέταρτης τάξης.Ποιό απο τα ακόλουθα δεν ισχύει:

α)η f' είναι περιττή

β)η f'' είναι άρτια

γ)Η f'''' είναι άρτια

δ)η f'' είναι άρτια.''

ΘΕΜΑ ΑΣΕΠ 2002

αλλά και :

''Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με την ορθή γωνία στην κορυφή Α και πλευρές α,β και γ. Αν υα είναι το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα,τότε ισχύει:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} a)\frac{1}{{\beta ^2 }} + \frac{1}{{\gamma ^2 }} = \frac{1}{{\upsilon _a ^2 }} \\ \beta )\frac{1}{{a^2 }} + \frac{1}{{\beta ^2 }} = \frac{1}{{\upsilon _a ^2 }} \\ \gamma )\frac{1}{{a^2 }} + \frac{1}{{\gamma ^2 }} = \frac{1}{{\upsilon _a ^2 }} \\ \delta ){\rm K}\alpha \nu \varepsilon \nu a{\rm{ }}\alpha \pi o{\rm{ }}\tau \alpha {\rm{ }}\pi \rho {\rm{o}}\eta \gamma {\rm{o}}\upsilon \mu \varepsilon \nu \alpha \\ \end{array} }$
''
ΘΕΜΑ ΑΣΕΠ 2002

Επιπλέον:

''Η ευθεία y=λx+3:

α)Είναι κάθετη στον άξονα χ'χ για κάποια πραγματική τιμή του λ.

β)είναι κάθετη στον άξονα y'y για κάποια πραγματική τιμή του λ.

γ)Για λ διαφορετικό του μηδενός περνάει απο το σημείο (1/λ,5)

δ)για λ=1 είναι κάθετη στην ευθεία y=x''

ΘΕΜΑ ΑΣΕΠ 2002

Θα μπορούσα να σας παραθέσω και άλλα πολλά, που ΑΠΟΤΕΛΕΣΑΝ θέματα ΑΣΕΠ και ήταν ''μειωμένης'' δυσκολίας.
Αλήθεια όμως , τι σημαίνει ''μειωμένης'' δυσκολίας για τον καθένα μας; Νομίζω καθαρά υποκειμενικό το θέμα.
Ακόμα και σε αυτές τις ''ασκησούλες'' (κατά πολλούς και οχι εμένα), θα υπήρξαν σίγουρα άνθρωποι που δεν μπόρεσαν να τις καταφέρουν.
Το θέμα είναι το γιατί . Πάλι είναι πολλοί οι λόγοι. Για να τελειώνω με αυτό, επειδή ο ΑΣΕΠ είναι καθαρα θέμα χρόνου και ΤΥΧΗΣ , θεωρώ πως ναι η άσκηση που πρότεινα είναι πιθανό θέμα και καλό θα είναι κάποιος που δίνει να έχει δεί τη λύση της και να του έρθει στο μυαλό άμεσα. Είναι επίσης καλό για εμένα να έχει δεί τρείς , τέσσερις διαφορετικούς τρόπους που θα ''κολλούσαν'' και σε κάτι άλλο.
Γι'αυτό ζήτησα απο τους συναδέλφους να απαντήσουν αναλυτικά. Εδώ θα ήθελα να δώσω μια πάσα στους διαχειριστές και να τους ζητήσω να σκεφτούν και αυτό, ως κανόνα λειτουργίας του φόρουμ. Να ζητηθεί απο τους συμμετέχοντες να παρουσιάζουν, όσον το δυνατόν αναλυτικότερες λύσεις.Δε θα ήταν άσχημο.
Επιπλέον αναρωτιέμαι:
Τι νόημα έχει να μιλάμε για δύσκολες ή εύκολες ασκήσεις σε ένα διαγωνισμό, όταν σκίζεσαι να διαβάσεις,να γράψεις ,να λύσεις, να απαντήσεις και όταν περνάς και ζείς το έργο αντιλαμβάνεσαι οτι ΠΟΛΛΟΙ γύρω σου έχουν πετύχει το ίδιο ακριβώς με εσένα ,αλλά με άλλους πιο ''ξεκούραστους'' τρόπους. Νομίζω πως τους τρόπους τους ξέρετε ,καλύτερα και απο εμένα.
Τελευταία μου πρόταση:Αν ''διψάμε'' για αίμα, τότε στον επόμενο ΑΣΕΠ ας βάλει θέματα ο M.Klamkin.(εδώ φυσικά και κάνω χιούμορ) Για σίγουρη ''σφαγή''.

Καλημέρα σας!

Α.Κυριακόπουλος · #11

Αγαπητέ Χρήστο.
Έχεις δίκιο. Δεν είχα υπόψη μου πολλά από τα θέματα που έχουν βάλει στον ΑΣΕΠ και είχα, όπως φαίνεται, λανθασμένη εντύπωση. Άλλα πίστευα εγώ. Έχουμε φθάσει λοιπόν σ' αυτό το σημείο; Το μόνο που μας μένει είναι να σκεφτούμε πώς θα αντιδράσουμε.
Όσο για τις πλήρεις λύσεις που αναφέρεις και πάλι έχεις δίκιο. Θα έχεις παρατηρήσει ότι όλες οι λύσεις που δημοσιεύω είναι πληρέστατες. Και εμένα δεν μου αρέσουν οι μισές λύσεις, το είναι πρωί και δεν έχω ξυπνήσει ακόμα, το είναι αργά το βράδυ και έχω νυστάξει, το βιάζομαι κτλ. Ας γράφουμε τις λύσεις όταν δεν συμβαίνει τίποτα από όλα αυτά. Με την ησυχία μας. Δεν μας πιέζει κανένας. Εκτός αν αυτά τα γράφουμε για να δικαιολογηθούμε στην περίπτωση που έχουμε κάνει λάθος( προσωπικά πιστεύω ότι αυτό συμβαίνει) , το οποίο βέβαια δεν είναι σωστό.
Καλές γιορτές. Ο καινούριος χρόνος να σου φέρει ότι επιθυμείς.
Με εκτίμηση και αγάπη.

|z|

|z|

Re: |z|

Re: |z|

Re: |z|

Re: |z|

Re: |z|

Re: |z|

Re: |z|

Re: |z|

Re: |z|

Re: |z|

Μέλη σε σύνδεση