Τετραγωνική ρίζα πολυωνύμου!

#1

Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=\left(2x^2+13x+15 \right)\left(x^2+4x-5 \right)\left(2x^2+x-3 \right).$

Να αποδείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο Q(x)

ώστε $P(x)=\left[ Q(x)\right]^2.$

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλημέρα.

Ας κάνουμε πρώτα την παραγοντοποίηση $x^{2}+4x-5 = \left(x-1 \right)\left(x+5 \right)$

και ύστερα την $2x^{2}+x-3=\left(2x^{2}-2x \right)+(3x-3)=(x-1)\left( 2x+3\right)$

Τέλος αρκεί να ισχύει $( \left2x+3 \right)\left(x+5 \right)=2x^{2}+13x+15$ που επαληθεύεται εύκολα.

Άρα έχουμε $Q _1\left(x \right)=\left(2x+3 \right)\left(x-1 \right)\left(x+5 \right)$ , για κάθε $x\in R$

Όσο για το πλήθος των διαφορετικών συναρτήσεων ${\color{red} f\left(x \right)}$ που ικανοποιούν την ισότητα $P\left(x \right)= f^{2}\left(x \right)$ (δεν τίθεται το ερώτημα και η απάντηση είναι εκτός φακέλου) ας γράψω , με επιφύλαξη λόγω της ακατάλληλης ώρας ,
ότι η

είναι συνεχής συνάρτηση με τρείς ρίζες , άρα τέσσερα τα διαστήματα με δυνατότητα εναλλαγής προσήμου ,
οπότε προκύπτουν $2^{4}=16$ διαφορετικές $f\left(x \right)$
.Από τις

βλέπω ως πολυώνυμα , λόγω ορισμού μόνο το $Q _1\left(x \right)=\left(2x+3 \right)\left(x-1 \right)\left(x+5 \right)$ που είδαμε και το $Q_2\left(x \right)$ = $-Q _1\left(x \right)=\left- (2x+3 \right)\left(x-1 \right)\left(x+5 \right)$ , $x\in R$ .Το τελευταίο , καλό είναι να το εξετάσουν τα ημέτερα αλλά κι΄άλλα μάτια ...
με το φως της μέρας που δεν θ'αργήσει...

Φιλικά Γιώργος.

Zητώντας την κατανόησή σας, διόρθωσα και κυρίως συμπλήρωσα με κόκκινο.
Ευχαριστώ τον Χρήστο (Ντάβα ) για την επικοινωνία και την επισήμανση ...Χρήστο ίσως κάνω λάθος στο πλήθος των εν λόγω πολυωνύμων..

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Όσο για το πλήθος των διαφορετικών συναρτήσεων ${\color{red} f\left(x \right)}$ που ικανοποιούν την ισότητα $P\left(x \right)= f^{2}\left(x \right)$

Πιο απλά, αν $\displaystyle{f_1^2(x)=f_2^2(x)}$ τότε $\displaystyle{(f_1(x)+f_2(x))(f_1(x)-f_2(x))=0}$ οπότε για άπειρες τιμές ισχύει τουλάχιστον ένα από τα
$\displaystyle{f_1(x)=f_2(x), \, f_1(x)=-f_2(x)}$ . Τελικά (αλλά εκτός φακέλου) αφού η απειρία κοινών τιμών σε πολυώνυμα σημαίνει ταύτιση, είναι

$\displaystyle{f_1=f_2}$ ή $\displaystyle{f_1=-f_2}$ .

M.

Τετραγωνική ρίζα πολυωνύμου!

Τετραγωνική ρίζα πολυωνύμου!

Re: Τετραγωνική ρίζα πολυωνύμου!

Re: Τετραγωνική ρίζα πολυωνύμου!

Μέλη σε σύνδεση