Πυκνότητα των υπερβατικών

#1

Δείξτε ότι το σύνολο των πραγματικών υπερβατικών είναι πυκνό στο $\mathbb{R}$ .
Μαυρογιάννης

Καραδήμας · #2

Το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι αριθμήσιμο και δε μπορεί να περιέχει διάστημα.

#3

Και μία που στηρίζεται στον ορισμό του υπερβατικού και στην πυκνότητα των ρητών: 'Εστω

υπερβατικός. Τότε για κάθε μη μηδενικό ρητό

και ο

είναι υπερβατικός. Το σύνολο $a\mathbb{Q}^{*}$ των μη μηδενικών ρητών πολλαπλασίων του

απαρτίζεται από υπερβατικούς αριθμούς και είναι πυκνό στο $\mathbb{R}$ γιατί το $\mathbb{Q}$ είναι.
Μαυρογιάννης

Καραδήμας · #4

Σωστό είναι κι αυτό. Αν γράψω q=t/s

με $t,s\in {\mathbb Z}\setminus \{ 0\}$ και αν $b_k(qa)^k+\cdots +b_1(qa)+b_0=0$ τότε $(b_kt^k)a^k+\cdots +(b_1ts^{k-1})a+(b_0s^k)=0$ .

Στο ίδιο πνεύμα: οι αριθμοί Liouville είναι πυκνοί στο ${\mathbb R}$ ?

#5

nsmavrogiannis έγραψε:Και μία που στηρίζεται στον ορισμό του υπερβατικού και στην πυκνότητα των ρητών: 'Εστω υπερβατικός. Τότε για κάθε μη μηδενικό ρητό και ο είναι υπερβατικός. Το σύνολο $a\mathbb{Q}^{*}$ των μη μηδενικών ρητών πολλαπλασίων του απαρτίζεται από υπερβατικούς αριθμούς και είναι πυκνό στο $\mathbb{R}$ γιατί το $\mathbb{Q}$ είναι.
Μαυρογιάννης

Πολύ ενδιαφέρουσα λύση διότι
α) ξέρουμε ότι οι υπερβατικοί είναι πολλοί (πληθάριθμος του συνεχούς) οπότε είναι "αναμενόμενο" να είναι πυκνοί, πλην όμως
β) η παραπάνω λύση χρησιμοποίησε ουσιαστικά μόνο έναν υπερβατικό.

Με εξέπληξε.

Δίνω μία διαφορετική λύση, σε λίγο διαφορετικό μήκος κύματος.

Έστω ότι υπήρχε διάστημα Ι χωρίς υπερβατικό, δηλαδή αποτελείται μόνο από αλγεβρικούς. Παρατηρούμε ότι για δοθέντα πραγματικό αριθμό α υπάρχει μη μηδενικός ρητός q με qα στο Ι. Άρα ο qα και συνεπώς ο α είναι αλγεβρικός. Άτοπο γιατί ξέρουμε ότι υπάρχουν μη αλγεβρικοί πραγματικοί.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Πυκνότητα των υπερβατικών

Πυκνότητα των υπερβατικών

Re: Πυκνότητα των υπερβατικών

Re: Πυκνότητα των υπερβατικών

Re: Πυκνότητα των υπερβατικών

Re: Πυκνότητα των υπερβατικών

Μέλη σε σύνδεση