Ένα παιχνίδι

Silver · #1

Έστω ότι έχουμε μια παιχνιδομηχανή η οποία βγάζει τυχαίους θετικούς ακέραιους αριθμούς από το 1 ως και το 4 όποτε πατάμε ένα κουμπί, δηλαδή 1,2,3 και 4. Κερδίζουμε αν έρθει 1,2,3 και χάνουμε αν έρθει 4. Θα πατήσουμε το κουμπί και θα παίξουμε 50 φορές. Το παιχνίδι τελειώνει αν χάσουμε 3 διαδοχικές φορές, δηλαδή, αν έρθει για 3 συνεχόμενες φορές 4. Ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί αυτό;

#2

Έστω ότι παίζουμε

φορές. Συνολικά έχουμε 4^n

διαφορετικά αποτελέσματα. Έστω T_n

ο αριθμός των παιγνιδιών που δεν έχουν τρία συνεχόμενα τεσσάρια. Για $n \geqslant 4$ , ακριβώς $3T_{n-1}$ από αυτά τα παιγνίδια δεν τελειώνουν με

. Επίσης, $3T_{n-2}$ από αυτά τα παιγνίδια τελειώνουν με ακριβώς ένα

και $3T_{n-2}$ από αυτά τα παιγνίδια τελειώνουν με ακριβώς ένα

.

Οπότε έχουμε την αναδρομική ακολουθία $T_n = 3(T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3})$ για $n \geqslant 4$ . Επίσης T_1=4,T_2=16

και

.

Από θεωρία ισχύει ότι $T_n = r\alpha_1^n + s\alpha_2^n + t\alpha_3^n$ όπου $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ οι ρίζες της x^3 - 3x^2-3x-3 = 0

και

είναι σταθεροί αριθμοί οι οποίοι προκύπτουν από τις αρχικές συνθήκες. Δυστυχώς όμως η μορφή των ριζών δεν βοηθάει και τόσο στην περίπτωσή μας.

Οπότε προχωράμε να υπολογίσουμε τα $T_4,T_5,\ldots,T_{50}$ αναδρομικά. Ο υπολογιστής μου λέει ότι $T_{50} = 702492426173403296491012268976$ και άρα η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με $1 - T_{50}/4^{50}=0.4458311888$ σε δέκα δεκαδικά ψηφία.

Ένα παιχνίδι

Ένα παιχνίδι

Re: Ένα παιχνίδι

Μέλη σε σύνδεση