Βολές σε κυκλικό στόχο, γενίκευση

ealexiou · #1

Σκοπευτής έριξε

βολές σε κυκλικό στόχο. Στις N-1

κατά σειρά βολές,

βολές ήταν καλύτερες από την πρώτη (πήγαν σε μικρότερη απόσταση από το κέντρο από ότι η πρώτη βολή).
Ποια η πιθανότητα η

ιοστή βολή να ήταν καλύτερη από την πρώτη;

Θεωρείστε την σκοπευτική ικανότητα του σκοπευτή σταθερή σε όλες τις βολές και την πιθανότητα δύο ή περισσότερες βολές να ισαπέχουν από το κέντρο μηδενική.

Ευθύμης

#2

Έστω

το ενδεχόμενο η πρώτη από τις N-1

βολές να είναι η M+1

καλύτερη και έστω

το ενδεχόμενο η

-οστή βολή να είναι καλύτερη από την πρώτη.

Ζητάμε την πιθανότητα $\displaystyle{ P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}.}$

Από συμμετρία είναι $P(A) = \frac{1}{N-1}$ . Το ενδεχόμενο $B \cap A$ συμβαίνει όταν η πρώτη βολή είναι η M+2

καλύτερη και η τελευταία βολή είναι καλύτερη από την πρώτη. Υπάρχουν

διαφορετικές διατάξεις για την τελική κατάταξη των βολών. Εξ' αυτών υπάρχουν ακριβώς (M+1)(N-2)!

διατάξεις ώστε η πρώτη βολή να είναι η M+2

καλύτερη και η τελευταία βολή να είναι καλύτερη από την πρώτη. Αυτό γιατί υπάρχει ένας τρόπος να επιλέξουμε την θέση της πρώτης βολής, M+1

τρόποι για την επιλογή της θέσης της τελευταίας βολής και (N-2)!

για την επιλογή της θέσης των υπολοίπων βολών. Οπότε είναι $P(B \cap A) = \frac{M+1}{(N-1)N}$ και άρα η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με $\frac{M+1}{N}$ .

-----------------------

Πιο γρήγορα και χωρίς δεσμευμένη πιθανότητα. Έστω $\ast \cdots \ast 1 \ast \cdots \ast$ η διάταξη μέχρι στιγμής όπου υπάρχουν

αστεράκια πριν το 1 και N-M-2

αστεράκια μετά το 1. Η τελευταία βολή έχει

δυνατές θέσεις: Πριν το πρώτο αστεράκι, μεταξύ του πρώτου και του δεύτερου, κ.τ.λ. Από συμμετρία είναι όλες ισοπίθανες. Όμως ακριβώς M+1

εξ αυτών είναι πριν το

οπότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι (M+1)/N

.

Βολές σε κυκλικό στόχο, γενίκευση

Βολές σε κυκλικό στόχο, γενίκευση

Re: Βολές σε κυκλικό στόχο, γενίκευση

Μέλη σε σύνδεση