Ανάγωγο πολυώνυμο τριγωνομετρικού αρθμού (1)

#1

Ας βρεθεί το ανάγωγο πολυώνυμο του $\displaystyle\tan\frac{\pi}{7}$ και οι υπόλοιπες ρίζες του.

dement · #2

Αν θεσουμε $\displaystyle x = \tan \frac{\pi}{7}$ τοτε ισχυει $\tan (3 \tan^{-1} x) = - \tan(4 \tan^{-1} x)$ .

Χρησιμοποιωντας το γεγονος οτι $\displaystyle \tan (3 \tan^{-1} x) = \frac{x + \frac{2x}{1 - x^2}}{1 - \frac{2x^2}{1 - x^2}} = \frac{-x (x^2 - 3)}{1 - 3x^2}$ και

$\displaystyle \tan (4 \tan^{-1} x) = \frac{\frac{4x}{1 - x^2}}{1 - \frac{4x^2}{(1 - x^2)^2}} = \frac{4x(1-x)(1+x)}{(1-x^2 + 2x)(1 - x^2 - 2x)}$ τοτε, εξισωνοντας το ενα με το αντιθετο του αλλου, εχουμε (μετα απο λιγη αλγεβρα και αν δεν εχω κανει λαθος) οτι το

ειναι ριζα του πολυωνυμου x^6 - 21x^4 + 35x^2 - 7

. Αυτο ειναι αναγωγο απο το κριτηριο του Eisenstein.

Επισης, οι υπολοιπες ριζες του ειναι το $\displaystyle - \tan \frac{\pi}{7}$ καθως και τα $\displaystyle \pm \tan \frac{2 \pi}{7}, \pm \tan \frac{3 \pi}{7}$ (αφου ικανοποιουν την αρχικη εξισωση).

Δημητρης Σκουτερης

#3

Ωραίος! η δική μου αντιμετώπιση (δε διαφέρει ουσιαστικά από τη δική σου):

Θέτω $\theta=\pm\frac{k\pi}{7}$ με k=1,2,3

.

Είναι $\tan7\theta=0.$ Όμως

$\displaystyle\tan n\theta=\frac{\binom{n}{1}\tan\theta-\binom{n}{3}\tan^{3}\theta+\cdots}{1-\binom{n}{2}\tan^{2}\theta+\binom{n}{4}\tan^{4}\theta-\cdots}$ , άρα

$\displaystyle0=\tan7\theta=\frac{7\tan\theta-35\tan^{3}\theta+21\tan^{5}\theta-\tan^{7}\theta}{\cdots}\Rightarrow$

$\displaystyle\tan^{6}\theta-21\tan^{4}\theta+35\tan^{2}\theta-7=0$ , άρα το ζητούμενο ανάγωγο (λόγω Eisenstein) πολυώνυμο είναι το αυτό που ανέφερες του οποίου οι ρίζες είναι οι $\pm\tan\frac{k\pi}{7}$ με k=1,2,3

.

Ανάγωγο πολυώνυμο τριγωνομετρικού αρθμού (1)

Ανάγωγο πολυώνυμο τριγωνομετρικού αρθμού (1)

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο τριγωνομετρικού αρθμού

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο τριγωνομετρικού αρθμού

Μέλη σε σύνδεση