Πολυώνυμο

erxmer · #1

Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=x^3+ax^2+bx+c\,\,\,, a,b,c \in C$ ή $a,b,c \in R$ , . Αν οι ρίζες του r_1,r_2,r_3

ικανοποιούν την σχέση |r_1|=2|r_2|=3|r_3|

τότε $|ab| \leq 11|c|$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Στην προς απόδειξη σχέση μπορεί να υπάρχει ισότητα.

#3

erxmer έγραψε:Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=x^3+ax^2+bx+c\,\,\,, a,b,c \in C$ ή $a,b,c \in R$ , $c \neq 0$ . Αν οι ρίζες του ικανοποιούν την σχέση τότε

Ξεχάστηκε. Για να κλείνει.

(Η υπόθεση $c\ne 0$ περιττεύει).

Από Vieta

$|ab| = |r_1 +r_2 +r_3||r_1 r_2 +r_2r_3 +r_3r_1|\le \left (|r_1| +|r_2| +|r_3|\right ) \left (|r_1 r_2| +|r_2r_3| +|r_3r_1|\right )$

$= \left (|r_1 |+\frac {1}{2}|r_1| +\frac {1}{3}|r_1|\right ) \left (\frac {1}{2}|r_1| ^2 +\frac {1}{6}|r_1|^2 +\frac {1}{3}|r_1|^2\right )=$

$=\frac {11}{6} |r_1|^3 =11|r_1| \cdot \frac {1}{2}|r_1| \cdot \frac {1}{3} |r_1|= 11 |r_1 r_2 r_3|= 11|c|$ , όπως θέλαμε.

Υπόψη (όπως τονίζει ο Σταύρος) μπορούμε να έχουμε ισότητα: Aν $r_1=6, \, r_2=3, \, r_3=2$ , οπότε $a= -11, \, b=36, \, c=-36$ , ισχύει |ab|=11|c|.

Πολυώνυμο

Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση