Θέμα Δ προσομοίωσης

mstr · #1

Καλησπέρα σε όλους! Όποιος μπορεί, παρακαλώ να βοηθήσει στην παρακάτω άσκηση που με δυσκολεύει:
Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει ότι:
$f(3)-f(1)\leq 2f'(x)\leq f'(0)+f'(1) \forall x\in \mathbb{R}$ .
Δίνεται ακόμα η συνάρτηση

με $g(x)=\begin{cases} \frac{xlnx}{x+1} & \text{ if } x>0 \\ 0 & \text{ if } x=0 \end{cases}$ .
Α. Να αποδείξετε ότι:
i) f'(0)=f'(1)

.
ii) Η

παρουσιάζει ολικά ακρότατα (μέγιστο και ελάχιστο) στο $\mathbb{R}$ .
iii) Η εξίσωση f''(x)=0

έχει τουλάχιστον τέσσερις πραγματικές ρίζες.

Β. Να αποδείξετε ότι:
i) Η

είναι συνεχής στο $[0,+\infty )$ .
ii) Υπάρχει ακρότατο τής

στο

.

Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\eta \in (0,1)$ τέτοιο, ώστε να ισχύει:
$(\eta +1)[(\eta +1)f''(\eta )-1]= ln\eta$

Tolaso J Kos · #2

mstr έγραψε: Παρ Ιαν 25, 2019 8:41 pm Καλησπέρα σε όλους! Όποιος μπορεί, παρακαλώ να βοηθήσει στην παρακάτω άσκηση που με δυσκολεύει:
Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει ότι:
$f(3)-f(1)\leq 2f'(x)\leq f'(0)+f'(1) \forall x\in \mathbb{R}$ .
Δίνεται ακόμα η συνάρτηση με $g(x)=\begin{cases} \frac{xlnx}{x+1} & \text{ if } x>0 \\ 0 & \text{ if } x=0 \end{cases}$ .
Α. Να αποδείξετε ότι:
i) .
ii) Η παρουσιάζει ολικά ακρότατα (μέγιστο και ελάχιστο) στο $\mathbb{R}$ .
iii) Η εξίσωση έχει τουλάχιστον τέσσερις πραγματικές ρίζες.

Β. Να αποδείξετε ότι:
i) Η είναι συνεχής στο $[0,+\infty )$ .
ii) Υπάρχει ακρότατο τής στο .

Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\eta \in (0,1)$ τέτοιο, ώστε να ισχύει:
$(\eta +1)[(\eta +1)f''(\eta )-1]= ln\eta$

Τι ακριβώς σε δυσκολεύει ; Ποιο ερώτημα; Τι έχεις προσπαθήσει για να το λύσεις;

#3

$\displaystyle{x=0 \Rightarrow 2f'(0)\le f'(0)+f'(1)\Rightarrow f'(0)\le f'(1)}$ , $\displaystyle{x=1 \Rightarrow 2f'(1)\le f'(0)+f'(1)\Rightarrow f'(1)\le f'(0)}$ αρα $\displaystyle{f'(0)=f'(1)}$

$\displaystyle{2f'(x)\le 2f'(0) \Rightarrow f'(0)=max f'}$
$\displaystyle{f(3)-f(1)=2f'(\xi)\le 2f'(x)\Rightarrow f'(\xi)=min f'}$

από Fermat $\displaystyle{f''(\xi)=0}$
από Fermat $\displaystyle{f''(1)=0}$
από Fermat $\displaystyle{f''(0)=0}$
από Rolle $\displaystyle{f''(u)=0}$
με $\displaystyle{0<u<1<\xi<3}$ αρα η $\displaystyle{f''}$ εχει τουλάχιστο 4 ρίζες

$\displaystyle{\lim_{x\to 0+}{g(x)}=\lim_{x\to 0+}{1/(x+1)\lim_{x\to 0+}\frac{lnx}{1/x}=\lim_{x\to 0+}\frac{1/x}{-1/x^2}\lim_{x\to 0+}{-x}=g(0)}$ οποτε $\displaystyle{g}$ συνεχής και στ $\displaystyle{0}$

$\displaystyle{g(0)=g(1)=0}$ και $\displaystyle{g}$ εχει και min και max στο $\displaystyle{[0,1]}$ και δεν είναι σταθερή αρα εχει ενα τουλαχιστον ακρότατο στο $\displaystyle{(0,1 )}$

$\displaystyle{w(x)=f'(x)-g(x)}$ τοτε $\displaystyle{w(0)=w(1)=0}$ από Rolle το ζητούμενο

Θέμα Δ προσομοίωσης

Θέμα Δ προσομοίωσης

Re: Θέμα Δ προσομοίωσης

Re: Θέμα Δ προσομοίωσης

Μέλη σε σύνδεση