AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 3

#1

Aν

$\displaystyle{ \begin{array}{l} I_1 = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{\sin x} \sin ^2 x} dx \\ I_2 = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{\sin x} (1 + \sin x - \sin ^3 x)dx} \\ \end{array} }$

τότε:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} (A)I_1 + 1 = I_2 ^2 \\ (B)I_1 > I_2 \\ (\Gamma )I_1 = I_2 \\ (\Delta )I_2 = 2I_1 \\ \end{array} }$

#2

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Θα συμφωνήσω εν μέρη με την Φωτεινή γιατί,

Έστω $\displaystyle{ A = 1 + \sin x - \sin ^3 x }$ και $\displaystyle{ B = \sin ^2 x }$ τότε για κάθε $\displaystyle{ x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right] }$ ισχύει,

$\displaystyle{ A \ge B \Leftrightarrow 1 + \sin x - \sin ^3 x \ge \sin ^2 x \Leftrightarrow \left( {1 + \sin x} \right)\cos ^2 x \ge 0 }$

άρα για κάθε $\displaystyle{ x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right] }$ έχουμε, $\displaystyle{ A \ge B \Leftrightarrow e^{\sin x} \cdot A \ge e^{\sin x} \cdot B }$

οπότε από μια βασική πρόταση έχουμε: $\displaystyle{ \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{\sin x} \cdot A\,\,} dx \ge \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{\sin x} \cdot B} \,\,dx }$ για κάθε $\displaystyle{ x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right] }$ δηλαδή: $\displaystyle{ I_2 \ge I_1 }$

edit: δείτε παρακάτω διόρθωση στις ανισοισότητες

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Επειδή για μερικά χ έχουμε Α > Β, τότε για κάθε χ ισχύει Α>Β, άρα τελικά θα συμφωνήσω με την Φωτεινή!

Ευχαριστώ πολύ για την διευκρίνηση τον Νίκο που μου επεσήμανε το λάθος....

Τελικά μου έκατσε βαρύ το αρνί και ας μην έφαγα... είμαι εκτός φόρμας, σε 3 δημοσιεύσεις έχω κάνει (μέχρι στιγμής) 2 λάθη, όλα Μαθηματικής λογικής, ευτυχώς που δεν είναι online ο Αντώνης! Και σ΄ανώτερα!!

#5

Έχουμε:
$\displaystyle{ 2I_1 - I_2 = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{\sin x} (2\sin ^2 x - 1 - \sin x + \sin ^3 x)dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{sinx} [ - \cos 2x - \sin x(1 - \sin ^2 x)]dx} } }$

Συνεχίζοντας:

$\displaystyle{ 2I_1 - I_2 = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{\sin x} ( - \cos 2x - \sin x\cos ^2 x} )dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{\sin x} ( - \cos 2x - \frac{1}{2}\sin 2x\cos x)dx} }$

Πάμε λίγο ακόμα:

$\displaystyle{ 2I_1 - I_2 = - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(2e^{\sin x} \cos 2x + \sin 2xe^{sinx} } \cos x)dx = - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {e^{\sin x} (\sin 2x)' + \sin 2x(e^{\sin x} )'} \right]} dx = - \frac{1}{2}\left[ {e^{\sin x} \sin 2x} \right]_0^{\frac{\pi }{2}} = 0 }$

Αρα

$\displaystyle{ I_2 = 2I_1 }$

Σωστό το (Δ).

#6

χμ...μάλιστα,

το (Δ) ούτε που το κοίταξα, προτίμησα το (Ε), I_1<I_2

,

#7

Φωτεινή έγραψε:χμ...μάλιστα,

το (Δ) ούτε που το κοίταξα, προτίμησα το (Ε),,

AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 3

AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 3

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 3

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 3

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 3

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 3

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 3

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 3

Μέλη σε σύνδεση