Εξίσωση

#1

Να λύσετε την εξίσωση x^2+1 = log_2(x+2)- 2x

.

https://artofproblemsolving.com/communi ... log_2x2_2x

Λάμπρος Κατσάπας · #2

socrates έγραψε: Πέμ Μαρ 12, 2020 2:49 pm Να λύσετε την εξίσωση .

https://artofproblemsolving.com/communi ... log_2x2_2x

Τη φέρνουμε στη μορφή $\ln (x+2)=\ln 2(x+1)^2,x>-2.$ Προφανείς ρίζες οι x=-1,0.

Θα δείξουμε ότι είναι μόνο αυτές.

Θεωρούμε την $f(x)=\ln (x+2)-\ln 2(x+1)^2,x>-2$ η οποία έχει δεύτερη παράγωγο

$-\dfrac{1}{(x+2)^2}-2\ln 2<0.$

Άρα η πρώτη παράγωγος είναι γνησίως φθίνουσα. Εύκολα βρίσκουμε ότι

$\lim_{x\rightarrow -2^+}{f}'(x)= \lim_{x\rightarrow -2^+}\left (\dfrac{1}{x+2}-2\ln 2(x+1) \right )=+\infty$

και $\lim_{x\rightarrow +\infty }{f}'(x)=-\infty$ .

H {f}'

έχει μία μόνο ρίζα $\rho$ στο $(-2,+\infty )$ και η

είναι γνησίως αύξουσα στο

$(-2,\rho)$ και γνησίως φθίνουσα στο $(\rho,+\infty).$

Άρα η

έχει το πολύ μια ρίζα σε κάθε διάστημα. Βρήκαμε όμως δύο ρίζες και επομένως αυτές είναι μόνο.

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση