Παραλλαγή στο Δ20-Ν

#1

Δίνεται ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle k>0$ και η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)=-{{x}^{2}}+kx+2x\ln x$ , για κάθε $\displaystyle x>0$
Δ1. Να την ορίσετε κατάλληλα στο $\displaystyle x=0$ , ώστε να είναι συνεχής στο $\displaystyle [0,+\infty )$
Δ2. Να αποδείξετε ότι έχει τρία τοπικά ακρότατα και ένα σημείο καμπής .
Δ3. Αν εμφανίζει τοπικά ακρότατα στα $\displaystyle a,b\in (0,+\infty )$ με $\displaystyle a<b$ και σημείο καμπής στο $\displaystyle c\in (0,+\infty )$ , να βρείτε τις γραμμές στις οποίες ανήκουν τα $\displaystyle A(a,f(a)),B(b,f(b)),C(c,f(c))$ και να δείξετε ότι η γραμμή του $\displaystyle C$ είναι άξονας συμμετρίας της γραμμής των $\displaystyle A,B$ .
Δ4. Δείξετε ότι η εφαπτόμενη της $\displaystyle {{C}_{f}}$ στο $\displaystyle C$ διέρχεται από σταθερό σημείο και έπειτα βρείτε την εφαπτομένη που διέρχεται από την αρχή των αξόνων .
Δ5. Υποθέτουμε ότι $\displaystyle k>1$ . Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\displaystyle p\in (0,a)$ ώστε να ισχύει : $\displaystyle f(p)(1-a)=(k-1)(p-a)$ και κατόπιν ότι ισχύει : $\displaystyle {f}'(m)f(p)(a-1)<[f(a)-f(p)](k-1)$ για κάθε $\displaystyle m\in (0,p)$ .

#2

Δ1. $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(-{{x}^{2}}+kx+2x\ln x)=0$ , αφού $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( x\ln x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\ln x}{1/x} \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1/x}{-1/{{x}^{2}}} \right)=0$
Άρα $f(x)=\left\{ \begin{matrix} -{{x}^{2}}+kx+2x\ln x,\,\,x>0 \\ 0,\,\,\,\,\,\,x=0 \\ \end{matrix} \right.$

Δ2. Για $\displaystyle x>0$ είναι : ${f}'(x)=-2x+k+2\ln x+2$ και ${{f}'}'(x)=-2+\frac{2}{x}=\frac{2(1-x)}{x}$
Είναι {{f}'}'(x)>0

αν $\displaystyle x<1$ και {{f}'}'(x)<0

αν $\displaystyle x>1$ . Άρα έχει σημείο καμπής το $\displaystyle C(1,k-1)$
Επιπλέον $\displaystyle \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=-\infty$ , $\displaystyle {f}'(1)=k>0$ , $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\, x\left( -2+\frac{k}{x}+2\frac{\ln x}{x}+\frac{2}{x} \right)=-\infty$ , οπότε
από θ.Bolzano , αφού η $\displaystyle {f}'$ είναι συνεχής , υπάρχουν $\displaystyle a,b$ με $\displaystyle 0<a<c<b$ , ώστε $\displaystyle {f}'(a)={f}'(b)=0$
Mε πίνακα μονοτονίας βρίσκουμε ότι η $\displaystyle f$ έχει τοπικό ελάχιστο το A(a,f(a))

και
τοπικό μέγιστο το B(b,f(b))

. Επίσης το $\displaystyle (0,0)$ είναι τοπικό μέγιστο .

Δ3. Το $\displaystyle C$ ανήκει προφανώς στην ευθεία $\displaystyle (\varepsilon ):x=1$
Ακόμα , $\displaystyle {f}'(a)=0\Leftrightarrow -2a+k+2\ln a+2=0\Leftrightarrow 2\ln a=2a-k-2$ , οπότε με αντικατάσταση βρίσκουμε ότι
$f(a)=-{{a}^{2}}+ka+a(2a-k-2)={{a}^{2}}-2a$ και όμοια $f(b)={{b}^{2}}-2b$ .
Άρα τα ακρότατα ανήκουν στην καμπύλη $\displaystyle g(x)={{x}^{2}}-2x$ .
Προφανώς η $\displaystyle (\varepsilon ):x=1$ είναι άξονας συμμετρίας της $\displaystyle g$ .

Δ4. Η εφαπτόμενη στο $\displaystyle C(1,k-1)$ έχει εξίσωση $\displaystyle y-(k-1)=k(x-1)\Leftrightarrow y=kx-1$ , η οποία διέρχεται απ΄το σημείο $\displaystyle M(0,-1)$ για κάθε $\displaystyle k\in R$ .Η εφαπτόμενη στο τυχαίο σημείο $\displaystyle (t,f(t)),t>0$ , έχει εξίσωση $\displaystyle y-f(t)={f}'(t)(x-t)\Leftrightarrow y+{{t}^{2}}-kt-2t\ln t=(-2t+k+2\ln t+2)(x-t)$
και περνά απ΄το $\displaystyle (0,0)$ , οπότε $\displaystyle {{t}^{2}}-kt-2t\ln t=2{{t}^{2}}-kt-2t\ln t-2t\Leftrightarrow 0={{t}^{2}}-2t\Leftrightarrow t=2$
Άρα έχει εξίσωση
$\displaystyle y+4-2k-4\ln 2=(-4+k+2\ln 2+2)(x-2)\Leftrightarrow y=(-2+k+2\ln 2)x$

Δ5. $f(p)(1-a)=(k-1)(p-a)\Leftrightarrow f(p)(1-a)-(k-1)(p-a)=0$
Θεωρούμε την $\displaystyle E(x)=f(x)(1-a)-(k-1)(x-a)$ που είναι συνεχής στο $\displaystyle [0,a]$ και
$\displaystyle E(0)\cdot E(a)=(k-1)af(a)(1-a)=(k-1)a({{a}^{2}}-2a)(1-a)<0$ , αφού $\displaystyle k>1$ και $\displaystyle 0<a<1$ .
Άρα από θ. Bolzano υπάρχει μια ρίζα της $\displaystyle E$ . Είναι μοναδική , αφού η $\displaystyle E$ είναι γνησίως φθίνουσα διότι
$\displaystyle {E}'(x)={f}'(x)(1-a)-(k-1)(1-a)=(1-a)({f}'(x)-k+1)<0$ , αφού $\displaystyle {f}'(x)<0,k>1,a<1$ .
Τότε η σχέση {f}'(m)f(p)(a-1)<[f(a)-f(p)](k-1)

γίνεται :
$\begin{array}{l} f'(m)(k - 1)(a - p) < [f(a) - f(p)](k - 1) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow f'(m)(a - p) < [f(a) - f(p)] \Leftrightarrow f'(m) < \frac{{f(a) - f(p)}}{{a - p}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \end{array}$
Με ΘΜΤ στην $\displaystyle f$ στο $\displaystyle [p,a]$ , υπάρχει $\displaystyle q\in (p,a)$ ,ώστε ${f}'(q)=\frac{f(a)-f(p)}{a-p}$ ,
οπότε η $\displaystyle (1)\Leftrightarrow {f}'(m)<{f}'(q)$ η οποία αληθεύει αφού η $\displaystyle {f}'$ είναι γνησίως αύξουσα για $\displaystyle x<1$ και $\displaystyle m<p<q$ .

Παραλλαγή στο Δ20-Ν

Παραλλαγή στο Δ20-Ν

Re: Παραλλαγή στο Δ20-Ν

Μέλη σε σύνδεση