Ορθογώνιο-τετράγωνο

#1

Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι x^4+1

και

Αν το εμβαδόν του είναι 4x^3,

να δείξετε ότι είναι τετράγωνο.

24 ώρες για μαθητές.

kfd · #2

$\left ( x^{4}+1 \right )\left ( x^{2}+1 \right )=4x^{3}\Leftrightarrow x^{6}-x^{3}+x^{4}-x^{3}-x^{3}+x^{2}-x^{3}+1=0\Leftrightarrow x^{3}\left ( x-1 \right )\left ( x^{2}+x+1 \right )+x^{3}\left ( x-1 \right )-x^{2}\left ( x-1 \right )-\left ( x-1 \right )\left ( x^{2}+x+1 \right )=0\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )^{2}\left ( x^{2}+x+1 \right )^{2}+x^{2}\left ( x-1 \right )^{2}=0\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )^{2}\left [ \left ( x^{2}+x+1 \right )^{2}+x^{2} \right ]=0\Leftrightarrow x=1.$
Άρα οι διαστάσεις του είναι από 2, δηλ. τετράγωνο.

#3

george visvikis έγραψε: Τετ Οκτ 06, 2021 4:25 pm Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι και Αν το εμβαδόν του είναι να δείξετε ότι είναι τετράγωνο.

.
Εργαζόμαστε με x>0

. αφού δίνεται το εμβαδόν ως 4x^3

που είναι βέβαια

.

Από την $a^2+b^2 \ge 2ab$ με ισότητα αν και μόνον αν a=b

, έχουμε

$4x^3=(x^4+1)(x^2+1)\ge (2x^2)(2x)=4x^3$

Άρα έχουμε ισότητα παντού. Ειδικά x^4+1=2x^2

και

. Από την δεύτερη είναι x=1

, και λοιπά.

#4

Λίγο διαφορετικά.

$\displaystyle ({x^4} + 1)({x^2} + 1) = 4{x^3} \Leftrightarrow ({x^6} - 2{x^3} + 1) + ({x^4} - 2{x^3} + {x^2}) = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle {({x^3} - 1)^2} + {({x^2} - x)^2} = 0 \Leftrightarrow$ x^3-1=0

και

απ' όπου $\boxed{x=1}$ κλπ.

Ορθογώνιο-τετράγωνο

Ορθογώνιο-τετράγωνο

Re: Ορθογώνιο-τετράγωνο

Re: Ορθογώνιο-τετράγωνο

Re: Ορθογώνιο-τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση