Άθροισμα 100 αριθμών

#1

Δίνεται το άθροισμα:

$\displaystyle{S=2^2 + (-4^2) +6^2 + (-8^2 ) + 10^2 + (-12^2 ) + ...}$

Να υπολογίσετε το άθροισμα των $\displaystyle{100}$ πρώτων όρων του $\displaystyle{S}$ .

orestisgotsis · #2

Κενό

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Παρ Μαρ 17, 2023 8:58 pm Δίνεται το άθροισμα:

$\displaystyle{S=2^2 + (-4^2) +6^2 + (-8^2 ) + 10^2 + (-12^2 ) + ...}$

Να υπολογίσετε το άθροισμα των $\displaystyle{100}$ πρώτων όρων του $\displaystyle{S}$ .

Γενικότερα,

όροι:

$\displaystyle{\sum _{n=1} ^N ( (4n-2)^2-(4n)^2)= \sum _{n=1} ^N ( 4-16n)= 4N - 16 \sum _{n=1} ^N n = 4N-8N(N+1) = -8N^2-4N}$

(Χρησιμοποίησα το Σ για τυπογραφική ευκολία. Μπορεί και να παραληφθεί, βάζοντας το άθροισμα "απλωμένο")

#4

Και λίγο διαφορετικά:
Παρατηρούμε ότι ο πρώτος όρος είναι ο $\displaystyle{2^2}$ , ο δεύτερος είναι ο $\displaystyle{ - 4^2}$ , ο τρίτος είναι ο $\displaystyle{6^2}$ , ...

δηλαδή ο κάθε $\displaystyle{n}$ όρος είναι ο $\displaystyle{(2n)^2}$ , όταν $\displaystyle{n}$ περιττός και ο $\displaystyle{ - (2n)^2 }$ , όταν $\displaystyle{n}$ άρτιος

Αφού λοιπόν ζητάμε το άθροισμα των $\displaystyle{100}$ πρώτων όρων , άρα ο εκατοστός όρος του αθροίσματος θα είναι ο $\displaystyle{-200^2}$

Δηλαδή ζητάμε το άθροισμα:

$\displaystyle{A =2^2 +(-4^2)+6^2 +(-8^2)+ . . . +198^2 +(-200^2 )}$

Έχουμε:

$\displaystyle{A=(2^2 -4^2) +(6^2 -8^2 )+ . . . +(198^2 -200^2 )=}$

$\displaystyle{(2-4)(2+4)+(6-8)(6+8)+ . . . +(198-200)(198+200)=}$

$\displaystyle{(-2)(2+4)+(-2)(6+8)+ . . . +(-2)(198+200)=}$

$\displaystyle{(-2)(2+4+6+8+ . . . +198+200)=}$

$\displaystyle{(-2).2.(1+2+3+4+ . . . +99+100)=}$

$\displaystyle{-4 (1+2+3+4+ . . . +99+100)}$

Γνωρίζουμε όμως (μικρός Gauss), ότι $\displaystyle{1+2+3+4+ . . . +99+100=50.(101) =5050}$

Άρα $\displaystyle{A=-4 .5050 =- 20200}$

orestisgotsis · #5

Κενό

#6

orestisgotsis έγραψε: Σάβ Μαρ 18, 2023 4:05 am Ναι, καλά, εκ των υστέρων ;

Βάζω συμβολικό άθροισμα στο παιδί της Γ΄ Γυμνασίου ;

Για να ακριβολογούμε:

Όπως θα δεις κοιτώντας την ώρα που εστάλησαν τα δύο μηνύματα (9:53 και 9:57, αντίστοιχα), η γραφή τους έγινε συγχρόνως. Συμβαίνει συχνά στο mathematica να γράφεις ένα μήνυμα την ίδια στιγμή με κάποιον άλλο, και πριν το δεις. Το βλέπεις αφού πατήσεις "υποβολή". Το ίδιο έγινε και εδώ.

Αλλά μια και το αναφέρεις, το δικό σου μήνυμα άλλαξε μία ώρα ΜΕΤΑ που αναρτήθηκε το δικό μου. Φαίνεται από την ώρα που έχει καταγράψει το ποστ (11:01 στην κάτω γραμμή). Και μάλιστα το αρχικό σου μήνυμα ΔΕΝ ΕΙΧΕ την γενίκευση που έγραψα εγώ. Αυτό το έκανες ΜΕΤΑ που άλλαξες την απάντησή σου. Με άλλα λόγια, δεν προκύπτει ότι είδα την (αρχική) σου απάντηση και την αντέγραψα. Συνέβη το αντίθετο, όσον αφορά την επαναπροσαρμογή της απάντησής σου.

Για το συμβολικό άθροισμα στο παιδί της Γ' Γυμνασίου, ήμουν σαφής και το επαμαλαμβάνω copy/paste

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Μαρ 17, 2023 9:57 pm (Χρησιμοποίησα το Σ για τυπογραφική ευκολία. Μπορεί και να παραληφθεί, βάζοντας το άθροισμα "απλωμένο")

Δεν θα έκανα τον κόπο να απαντήσω στο σχόλιό σας αλλά και εσύ ο ίδιος, παρά την ενστασή σου, χρησιμοποίησες ακριβώς το ίδιο σύμβολο Σ για το άθροισμα. Και μάλιστα (από το ρολόι του mathematica) το έκανες ΜΕΤΑ που εμφανίστηκε το δικό μου μήνυμα.

Και ένα τελευταίο. Το mathematica δεν είναι ανταγωνιστικός ιστότοπος για το ποιος θα αναρτήσει πρώτος μιά λύση. Είναι ιστότοπος διαλόγου, χαράς και δημιουργίας. Αν κάποιος δεν έχει αυτή την οπτική, δεν εναρμομίζεται με την καθιερωμένη πρακτική εδώ. Πόσο μάλλον αν διεκδικεί εύσημα για την λύση μιας σχεδόν τετριμμένης (για εμάς τους ενήλικες) άσκησης.

Άθροισμα 100 αριθμών

Άθροισμα 100 αριθμών

Re: Άθροισμα 100 αριθμών

Re: Άθροισμα 100 αριθμών

Re: Άθροισμα 100 αριθμών

Re: Άθροισμα 100 αριθμών

Re: Άθροισμα 100 αριθμών

Μέλη σε σύνδεση