Μέγιστη - Ελάχιστη τιμή σε ανοικτό διάστημα.

abgd · #1

Μια πρόταση για τα ακρότατα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ανοικτό διάστημα από την οποία προκύπτει μια γενίκευση του θεωρήματος Rolle.

Πρόταση.
Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:(a,b)\to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{a,b \in \mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}}$ .

Αν $\displaystyle{\lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to b}{f(x)}$ , τότε η $\displaystyle{f}$ έχει ένα τουλάχιστον (ολικό) ακρότατο.

Απόδειξη.

(α). Έστω $\displaystyle{a,b \in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to b}{f(x)=l, \ \ l \in \mathbb{R}}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{s(x)=\left\{\begin{matrix} f(x), \ \ x\in \left(a,b\right) \\ l, \ \ x=a, \ \ x=b \\ \end{matrix}\right.}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{\left[a,b\right]$ και έτσι θα έχει μέγιστο και ελάχιστο.
Αν αυτά παρουσιάζονται, (και τα δύο), στα άκρα του $\displaystyle{\left[a,b\right]$ , τότε η $\displaystyle{f}$ θα είναι σταθερή, αφού θα πρέπει η $\displaystyle{f(x)=l \ \ \forall x \in (a,b)}$
Αν κάποιο από αυτά παρουσιάζεται σε εσωτερικό σημείο του $\displaystyle{\left[a,b\right]$ , τότε στο σημείο αυτό η $\displaystyle{f}$ θα έχει ακρότατο.

(β). Έστω $\displaystyle{a,b \in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to b}{f(x)=+\infty}$
Αν $\displaystyle{s(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-f(x)}, \ \ x\in \left(a,b\right) \\ 0, \ \ x=a, \ \ x=b \\ \end{matrix}\right.}$ , με τη βοήθεια του θεωρήματος μέγιστης - ελάχιστης τιμής σε κλειστό διάστημα, προκύπτει ότι η $\displaystyle{f}$ έχει ελάχιστο.

(γ). Έστω $\displaystyle{a,b \in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to b}{f(x)=-\infty}$
Εφαρμόζοντας το β) για την $\displaystyle{-f}$ προκύπτει ότι η $\displaystyle{f}$ έχει μέγιστο.

Ανάλογα σκεπτόμενοι και στις υπόλοιπες περιπτώσεις προκύπτει εύκολα το ζητούμενο της πρότασης.

Παράδειγμα, στην περίπτωση που $\displaystyle{a=-\infty \ \, b \in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to b}{f(x)=-\infty}$

θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{s(x)=\left\{\begin{matrix} e^{f(\tan{x})}, \ \ x\in \left(-\dfrac{\pi}{2},b'\right) \\ 0, \ \ x=-\dfrac{\pi}{2}, \ \ x=b' \\ \end{matrix}\right.}$ , με $\displaystyle{b'}$ ο αριθμός για τον οποίο $\displaystyle{\tan{b'}=b}$ .

Με τη βοήθεια τώρα αυτής της πρότασης και του Θεωρήματος του Fermat έχουμε το εξής:

Πόρισμα (Γενίκευση του Θεωρήματος Rolle)

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:(a,b)\to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{a,b \in \mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}}$ .

Αν $\displaystyle{\lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to b}{f(x)}$ , τότε η παράγωγος της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα.

Σημείωση: Πιθανόν τα παραπάνω να υπάρχουν στην βιβλιογραφία, δεν γνωρίζω αν έχει γίνει κάποια σχετική αναφορά στο mathmatica.gr

Μέγιστη - Ελάχιστη τιμή σε ανοικτό διάστημα.

Μέγιστη - Ελάχιστη τιμή σε ανοικτό διάστημα.

Μέλη σε σύνδεση