Ζητάω πολλά; (Β' (Λυκείου)

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #1

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ με $\displaystyle {\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma$ . Η $\displaystyle {\rm B}\Delta = 6$ είναι διχοτόμος της $\widehat {\rm B}$ και σχηματίζει με την $\displaystyle {\rm A}\Gamma$ γωνία $\displaystyle \widehat {{\rm B}\Delta \Gamma } = {135^0}$ . Να υπολογίσετε:
1. Το μήκος $\displaystyle x$ της πλευράς $\displaystyle {\rm A}{\rm B}$ .
2. Το μήκος του $\displaystyle {\rm A}\Delta$ .
3. Τον λόγο των εμβαδών $\frac{{\left( {{\rm B}\Gamma \Delta } \right)}}{{\left( {{\rm A}{\rm B}\Delta } \right)}}$ .
4. Την ακτίνα του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ κύκλου και
5. Την ακτίνα του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ κύκλου.
Μέχρι το Πάσχα (20/4/2025)

KARKAR · #2

Γιώργο , ναι ζητάς πολλά ! Επιπλέον στις ασκήσεις μόνο για μαθητές είθισται ( ίσως και να επιβάλλεται ) ,

να ορίζουμε μια καταληκτική ημερομηνία ...

Στον νομό Καρδίτσας υπάρχει ένας καλοκαιρινός πολιτιστικός θεσμός με το όνομα : " Φεστιβάλ Λιμνών " .

Η άσκησή σου μπορεί άνετα να τιτλοφορηθεί : " Φεστιβάλ Ριζών "

: Ζητάς πολλά.png (29.77 KiB) Προβλήθηκε 1826 φορές

Συνοπτικά : Εύκολα βρίσκουμε τις γωνίες που χρειαζόμαστε . Με νόμο ημιτόνων στο $\Delta B \Gamma$ βρίσκουμε

την $B \Gamma$ και λόγω της 30-

άρας την

. Με νόμο συνημιτόνων στο $AB\Delta$ βρίσκουμε το $A\Delta$ .

Ο λόγος των εμβαδών είναι ίσος με $\dfrac{\Gamma\Delta}{\Delta A}$ , η

είναι ίση με την

, ενώ η

βρίσκεται με τον τύπο .

#3

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε: Κυρ Μαρ 23, 2025 9:38 am Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ με $\displaystyle {\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma$ . Η $\displaystyle {\rm B}\Delta = 6$ είναι διχοτόμος της $\widehat {\rm B}$ και σχηματίζει με την $\displaystyle {\rm A}\Gamma$ γωνία $\displaystyle \widehat {{\rm B}\Delta \Gamma } = {135^0}$ . Να υπολογίσετε:
1. Το μήκος $\displaystyle x$ της πλευράς $\displaystyle {\rm A}{\rm B}$ .
2. Το μήκος του $\displaystyle {\rm A}\Delta$ .
3. Τον λόγο των εμβαδών $\frac{{\left( {{\rm B}\Gamma \Delta } \right)}}{{\left( {{\rm A}{\rm B}\Delta } \right)}}$ .
4. Την ακτίνα του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ κύκλου και
5. Την ακτίνα του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ κύκλου.
Μέχρι το Πάσχα (20/4/2025)

: Ζητώ πολλά_oritzin.png (12.19 KiB) Προβλήθηκε 1772 φορές

Αβίαστα ο μαθητής σχεδιάζει για αρχή το πιο πάνω σχήμα. Επειδή $2\theta = C\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\theta + C = 45^\circ \Rightarrow 3\theta = 45^\circ$ και έτσι συμπληρώνει το σχήμα :

: Ζητώ πολλά_αρχή.png (13.29 KiB) Προβλήθηκε 1772 φορές

Από δω και μετά συνεχίζει όπως ο Θανάσης γι αυτό δίδω κάτι ολίγον τι ανακόλουθο

Γράφω τον περιγεγραμμένο κύκλο ,

, του $\vartriangle DBC$ . Ας είναι δε

το μέσο του

Το $\vartriangle OBC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές το δε $\vartriangle DBO$ είναι ισόπλευρο πλευράς μήκους

.

Είναι , $BC = OB\sqrt 2 = 6\sqrt 2$ και έτσι : $BM = MC = MO = 3\sqrt 2$ , Το $\vartriangle MAB \to \left( {90^\circ ,60^\circ ,30^\circ } \right)$ και από το Π. Θ. σ αυτό ,

$A{M^2} + B{M^2} = {\left( {2AM} \right)^2} \Rightarrow A{M^2} + {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 4A{M^2}$ , οπότε : $\boxed{AM = \sqrt 6 \,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = AC = 2\sqrt 6 }$ .

Από το $\vartriangle OCD$ με ν. ημίτονων , $\dfrac{{DC}}{{\sin 30^\circ }} = \dfrac{6}{{\sin 75^\circ }} \Rightarrow DC = 3\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)$ και άρα $\boxed{AD = 2\sqrt 6 - DC = 3\sqrt 2 - \sqrt 6 }$

: Ζητώ πολλά_Ανακόλουθα.png (34.76 KiB) Προβλήθηκε 1772 φορές

Για το πηλίκο , $\boxed{\dfrac{{\left( {BCD} \right)}}{{\left( {ABD} \right)}} = \dfrac{{BD \cdot BC}}{{BD \cdot BA}} = \dfrac{{6\sqrt 2 }}{{2\sqrt 6 }} = \sqrt 3 }$ . Προφανές , $\boxed{\left( {ABC} \right) = \dfrac{1}{2}BC \cdot AM = \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt 2 \sqrt 6 = 6\sqrt 3 }$

Τώρα η ακτίνα

του $\vartriangle ABC$ είναι : $\boxed{R = \dfrac{{abc}}{{4E}} = \dfrac{{6\sqrt 2 {{\left( {2\sqrt 6 } \right)}^2}}}{{24\sqrt 3 }} = \dfrac{{6\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 6 = AB}$ ( ή σαν στο σχήμα του Θανάση).

Τέλος για την ακτίνα ,

του εγγεγραμμένου κύκλου του $\vartriangle ABC$ , ας είναι

το σημείο τομής των $AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD$ .

Από Ν. ημίτονου στο $\vartriangle TBO$ έχω : $\dfrac{{r + 3\sqrt 2 }}{{\sin 60^\circ }} = \dfrac{6}{{\sin 75^\circ }} \Rightarrow \boxed{r = 6\sqrt 2 - 3\sqrt 6 }$

Ζητάω πολλά; (Β' (Λυκείου)

Ζητάω πολλά; (Β' (Λυκείου)

Re: Ζητάω πολλά; (Β' (Λυκείου)

Re: Ζητάω πολλά; (Β' (Λυκείου)

Μέλη σε σύνδεση