Μηδενική συνάρτηση

Tolaso J Kos · #1

Παλιότερα είχαμε δει αυτήν ... Προτείνω μία παραλλαγή.

Έστω $f \in \mathcal{C}^1 [\alpha, \beta]$ και $f(\alpha)=0$ . Έστω $\lambda>0$ τέτοιος ώστε

$\displaystyle{\left| f'(x) \right| \leq \lambda \left| f(x) \right| \qquad \text{\gr διά κάθε} \;\; x \in [\alpha, \beta]}$
Να δειχθεί ότι f(x) =0

διά κάθε $x \in [\alpha, \beta]$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Ιουν 02, 2025 7:11 am Παλιότερα είχαμε δει αυτήν ... Προτείνω μία παραλλαγή.

Έστω $f \in \mathcal{C}^1 [\alpha, \beta]$ και $f(\alpha)=0$ . Έστω $\lambda>0$ τέτοιος ώστε

$\displaystyle{\left| f'(x) \right| \leq \lambda \left| f(x) \right| \qquad \text{\gr διά κάθε} \;\; x \in [\alpha, \beta]}$
Να δειχθεί ότι διά κάθε $x \in [\alpha, \beta]$ .

.
Έχουμε

$\displaystyle{|f(x)|= |f(x)-f(a)|= \left | \int _a^x f'(t) dt \right |\le \int _a^x \left | f'(t) \right | dt \le \lambda \int _a^x \left | f(t) \right |dt}$ (*)

Έστω

άνω φράγμα της |f|

. H

τώρα δίνει

$\displaystyle{|f(x) | \le \lambda \int _a^x M dt =\lambda M(x-a) }$

Βάζοντας αυτήν πίσω στην (*)

παίρνουμε

$\displaystyle{|f(x) |\le \lambda \int _a^x \lambda M(x-a) dt =\lambda ^2 M \dfrac {(x-a)^2}{2!} }$

Kάνοντας το ίδιο θα βρούμε επαγωγικά ότι $\displaystyle{|f(x) |\le \lambda ^n M \dfrac {(x-a)^n}{n!} }$ .

Από το γεγονός ότι $\displaystyle{\lim _{n\to \infty} \dfrac {c^n}{n!} =0 }$ (διότι είναι όρος της δυναμοσειράς του αναπτύγματος του e^c

), και παίρνοντας όριο $n \to \infty$ , έπεται το ζητούμενο.

Μηδενική συνάρτηση

Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση