Ανισότητα με ... αποτετραγωνισμό

#1

.
Να βρεθεί το μέγιστο της παράστασης (2a-b+c-3d)^2

αν τα

ικανοποιούν την 3a^2+4b^2+5c^2+7d^2=9

.

(Κάνει και για Junior.)

Dimessi · #2

Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε $\displaystyle \left ( 2a-b+c-3d \right )^{2}=\left ( \frac{2a}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{3}-\frac{b}{\sqrt{4}}\cdot \sqrt{4}+\frac{c}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{5}-\frac{3d}{\sqrt{7}}\cdot \sqrt{7} \right )^{2}\leq \left ( \frac{2^{2}}{3}+\frac{\left ( -1 \right )^{2}}{4}+\frac{1^{2}}{5}+\frac{\left ( -3 \right )^{2}}{7} \right )\left ( 3a^{2}+4b^{2}+5c^{2}+7d^{2} \right )$
$\displaystyle =9\left ( \frac{4}{3} +\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{9}{7}\right ),$
με την ισότητα για $\displaystyle \frac{3a}{2}=-4b=5c=-\frac{7d}{3}.$ Στην θέση ισότητας πληρείται και η συνθήκη 3a^2+4b^2+5c^2+7d^2=9,

άρα ισότητα επιτυγχάνεται για $\displaystyle 3a^{2}+\frac{9a^{2}}{16}+\frac{9a^{2}}{20}+\frac{81a^{2}}{28}=9\Leftrightarrow a^{2}=\frac{1680}{1289}.$

Ανισότητα με ... αποτετραγωνισμό

Ανισότητα με ... αποτετραγωνισμό

Re: Ανισότητα με ... αποτετραγωνισμό

Μέλη σε σύνδεση