Ανισότητα

mick7 · #1

Αν $a, b \in [-1,1]$ δείξτε οτι

$\sqrt{1-a^2} + \sqrt{1-b^2} \le 2\sqrt{1-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}$

#2

mick7 έγραψε: Σάβ Φεβ 28, 2026 7:26 pm Αν $a, b \in [-1,1]$ δείξτε οτι

$\sqrt{1-a^2} + \sqrt{1-b^2} \le 2\sqrt{1-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}$

Επειδή η συνάρτηση $f(x)=\sqrt {1-x^2}$ είναι κοίλη (άμεσο, καθώς πρόκειται για το άνω μισό ημικυκλίου), η ανισότητα Jensen μας λέει

$\dfrac {f(a)+f(b)} {2} \le f \left(\dfrac{a+b}{2}\right)$ . Αλλά αυτή είναι η αποδεικτέα.

#3

mick7 έγραψε: Σάβ Φεβ 28, 2026 7:26 pm Αν $a, b \in [-1,1]$ δείξτε οτι

$\sqrt{1-a^2} + \sqrt{1-b^2} \le 2\sqrt{1-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}$

.
Ας την δούμε με ευκολότερα μέσα, δεδομένου ότι η ανισότητα Jensen της προηγούμενης λύσης μπορεί να μην είναι γνωστή στο ευρύ μαθητικό κοινό.

Θα γίνει δύο φορές χρήση της $(A+B)^2 \le 2(A^2+B^2)$ . Την πρώτη με $A= \sqrt {1-a^2} , \, B= \sqrt {1-b^2}$ . Είναι τότε, ισοδύναμα

$\sqrt{1-a^2} + \sqrt{1-b^2} \le \sqrt 2\sqrt {1-a^2+1-b^2}= 2\sqrt {1- \dfrac {2(a^2+b^2)}{4} } \le 2\sqrt {1- \dfrac {(a+b)^2}{4} }=2\sqrt{1-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}$

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση