Ολοκλήρωμα

mick7 · #1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\int_{0}^{1} \left( 2\sqrt{x}\,\ln^{2}(2) + \ln^{2}(1+x) \right)\,dx$

Dimessi · #2

Είμαι από κινητό αλλά δεν καταλαβαίνω ποιο είναι το νόημα της άσκησης .
Το κλειδί είναι
$\ln ^2(1+x)=[(1+x)\ln ^2(1+x)]'-2\ln (1+x)$
$\ln (1+x)=[(1+x)\ln (1+x)]'-1$

automath · #3

Η αντίστροφη της $\ln^2(x+1)$ είναι η $e^{\sqrt{x}} - 1$ ,

Παρατηρούμε ότι $2^{\sqrt{x}} \ln^2(2) = e^{\ln(2)\sqrt{x}} \ln^2(2)$

Θέτουμε $u = x \ln^2(2)$ μόνο για τον πρώτο όρο.

Έχουμε ότι $\int_0^{\ln^2(2)} e^{\sqrt{u}}\,du + \int_0^1 \ln^2(1+x)\,dx$

Και $\int_0^{\ln^2(2)} (e^{\sqrt{u}} - 1)+1\,du + \int_0^1 \ln^2(1+x)\,dx = \ln^2(2) + \ln^2(2)(1) - 0 = 2\ln^2(2)$ (*)

(*) Έγινε χρήση του γνωστού αποτελέσματος $\int_a^b f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)\,dx = b f(b) - a f(a)$

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση