Από ισοσκελές σε ισοσκελές

KARKAR · #1

Στο τρίγωνο ABC

, είναι :

. Στην πλευρά

και στην προέκταση της

, θεωρούμε

σημεία P , T

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : BP=CT

. Η

τέμνει την βάση

στο σημείο

.

Αν

\widehat{SAC}=\widehat{STC}

, υπολογίστε την γωνία $\hat{B}$ . (

\bigstar 24

ώρες , μόνο για τους μαθητές )

ΕulerCh · #2

Έστω $\beta$ η ζητούμενη γωνία,

\alpha = S\hat{A}C = S\hat{T}C

και

ε = B\hat{A}S

.
Γνωρίζουμε πως $\triangle ABC$ ισοσκελές με

AB = AC \Rightarrow A\hat{C}B = A\hat{B}C = \beta

Φέρνουμε την $PQ \parallel AC$ , όπου $Q \in BC$ . Τότε θα είναι

P\hat{Q}B = A\hat{C}B = \beta

ως εντός εκτός και επί τα αυτά. Όμως

\beta = P\hat{B}Q \Rightarrow P\hat{B}Q = P{Q}B \Rightarrow PB = PQ = CT

καθώς το $\triangle PBQ$ θα είναι επίσης ισοσκελές.
Αντίστοιχα, η προέκταση της

προς την ευθεία

τέμνει αυτήν σε σημείο

. Έτσι λαμβάνουμε

S\hat{V}Q = S\hat{A}C = \alpha

ως εντός εναλλάξ και

S\hat{P}V = \alpha

αντίστοιχα. Έτσι θα έχουμε $\triangle SAP$ ισοσκελές με

S\hat{A}P = S\hat{P}A = ε

Από τα τρίγωνα $\triangle ABC$ και $\triangle PBQ$ προκύπτουν οι εξής σχέσεις:

2\beta + ε + \alpha = 180^\circ

και

ε + \alpha = 2\beta \Rightarrow 4\beta = 180^\circ \Leftrightarrow \beta = 45^\circ

, και άρα

\boxed{\hat{B} = 45^\circ}