Με αφορμή το θέμα εδώ , προτείνουμε προς απόδειξη τη διπλή ανισότητα: $\dfrac{e^2-1}{2\sqrt[4]{e}}<E<\dfrac{e^2-1}{2}$. Το άνω φράγμα έχει προταθεί και αποδειχθεί στην παραπομπή. Με το παρόν μήνυμα προτείνουμε το κάτω φράγμα, για το οποίο δε διαθέτουμε ακόμα λύση με σχολικά μέσα. Ας σημειώσουμε ότι...

Παρακάτω στο Γ3 δεν γίνεται να προκύψει άλλη λύση εκτός του 10. Έχει προηγηθεί το Γ2 και έχει δωθεί η απάντηση. Δεν βγαίνει άλλη τιμή και δεν υπάρχει λόγος να υπάρξει "διεύρυνση" στις οδηγίες διόρθωσης. Ναι, αλλά στην προσπάθεια να υπολογίσουμε το κ, αν αντί να ξεκινήσουμε από την $x=20$ ξεκινήσουμ...

Νομίζω ότι το θέμα Γ είναι προβληματικό.
Από τη μία, το κ μπορεί να πάρει και αρνητική τιμή, μια πολύ αρνητική μεν όπου δεν μπορεί να προκύψει λογική θερμοκρασία για πόλη της Ελλάδας. Από την άλλη, το που θέλουμε να είναι ίσο το όριο εξακολουθεί να στέκει;

Ευχές για υγεία και ευτυχία σε όλους τους εορτάζοντες.
Να είστε καλά, κύριοι
Βισβίκη, Μπαλόγλου, Ρίζο.

Χριστός Ανέστη,
πολλές ευχές για υγεία και ευτυχία σε όλους!

Θα παρακαλούσα τον θεματοδότη Λάμπρο Κατσάπα να γράψει τη λύση, αν δεν του είναι κόπος.
Έστω και να μου την περιγράψει σε προσωπικό μήνυμα.

Ζούμε κοσμοϊστορικές στιγμές. Το πιστεύω αυτό και μαζί κάθε άνθρωπος με λίγη νόηση. Είναι θέματα με τα οποία θα ασχοληθεί ο ιστορικός του μέλλοντος. Ας μου επιτραπεί να προτείνω το κανάλι του Παύλου Καστανά. Είναι πιο λαϊκό και προσωπικά δηλώνω φαν. https://m.youtube.com/watch?v=UMGobvktfuM Δεν ξέρω...

Για το (β), για να μη μένει.. Έχουμε δείξει στην (α) και εγώ και ακόμη πιο λιτά ο KARKAR ότι $4^{x}9^{\frac{1}{x}}+9^{x}4^{\frac{1}{x}} \geq 72$, με την ισότητα να ισχύει μόνο για $x=1$. Επιπλέον, ισχύει $6^{x+\frac{1}{x}} \geq 6^{2}=36$, με την ισότητα να ισχύει και πάλι μόνο για $x=1$. Άρα, $4^{x}...

Επίσης, από τον λογαριθμικό μέσο, έχουμε

, για .

Για : .

Για : .

Ελπίζω να μην το παρακάνουμε..

Για την (α) Αρχικά, η εξίσωση είναι αδύνατη στο $(- \infty,0]$ διότι $4^{x}9^{\frac{1}{x}} \leq 1$ και $9^{x}4^{\frac{1}{x}} \leq 1$. Επιπλέον, αν η εξίσωση έχει ρίζα $k$ στο $(1,+ \infty)$, θα έχει προφανώς και την $\frac{1}{k} \in (0,1)$. Υπάρχει η παρατηρούμενη ρίζα $x=1$ και θα αποδείξουμε ότι ε...

$sin5xsin9x=sin4xsin16x \Rightarrow$ $sin\frac{14x-4x}{2}sin\frac{14x+4x}{2} = sin\frac{20x-12x}{2}sin\frac{20x+12x}{2} \Rightarrow$ $cos14x -cos4x =cos20x - cos12x \Rightarrow$ $cos20x-cos14x=cos12x-cos4x \Rightarrow$ $-2sin\frac{34x}{2}sin\frac{6x}{2}=-2sin\frac{16x}{2}sin\frac{8x}{2} \Rightarrow$...

Μια ακόμη,

Για ,



Για



Για , ισχύει η ισότητα.

Γεια σας , για το δεύτερο ερώτημα, για το οποίο υπάρχουν θετικά $x_{1},x_{2}$, με $x_{1}<x_{2}$ τέτοια, ώστε $e^{x_{1}}=3x_{1} \Leftrightarrow ln(3x_{1})=x_{1} \Leftrightarrow lnx_{1}=x_{1}-ln3$ και $e^{x_{2}}=3x_{2} \Leftrightarrow ln(3x_{2})=x_{2} \Leftrightarrow lnx_{2}=x_{2}-ln3$, είναι $lnx \ge...

Ενδιαφέρον! Έστω $a\in (1,e)$ η μοναδική λύση της εξίσωσης $lnx=\frac{1}{x}.$ Τότε $\displaystyle{f(a)=g(a).}$ Επιπλέον η $f-g$ παρουσιάζει ελάχιστο στο $a$ οπότε δεν έχουμε άλλη λύση και βέβαια $f'(a)=g'(a).$ Η πρώτη ανισότητα είναι τώρα προφανής από κυρτότητα. Για την δεύτερη Η συνάρτηση $\displa...

Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g:(1,+ \infty) \rightarrow R$ , με $f(x)=(x-1)lnx$ και $g(x)=ln(lnx)+1$ , για κάθε $x>1$. Α. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι κυρτή και η $g$ είναι κοίλη στο $(1,+ \infty)$. Β. Να αποδείξετε ότι οι $C_{f},C_{g}$ έχουν σε κοινό τους σημείο, με τετμημένη $a \in (1,e)$, κοινή εφ...

Να αποδείξετε ότι

Έφυγα για τσιγάρα και δραπέτευσα στη Βραζιλία.
Πώς πέρασαν 7 χρόνια!
Θα συνέχιζα, αλλά δεν έχω κουράγιο..

Να δειχθεί ότι ισχύει η $x^2\leq sinxtanx$ για $-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}$. Καλημέρα σας. Η προσπάθειά μου. Θα δουλέψω με τη συνάρτηση $f(x)=\frac{sinx}{\sqrt{cosx}}-x$ στο $[0,\frac{\pi}{2})$. Στο $(0,\frac{\pi}{2})$, είναι $f'(x)=\frac{cosx \cdot \sqrt{cosx}+\frac{sin^{2}x}{2 \sqrt{cosx}}}...

Η $g(x)=sin(\frac{\pi}{6}+\pi^{1-x^{2}})$ είναι άρτια στο $R$ και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ΜΟΝΑΔΙΚΑ στη θέση $x=0$, το $g(0)=sin \frac{7 \pi}{6}=- \frac{1}{2}$. Πράγματι, $1-x^{2} \leq 1 \Leftrightarrow 0 < \pi^{1-x^{2}} \leq \pi \Leftrightarrow \frac{\pi}{6} <\frac{\pi}{6}+\pi^{1-x^{2}} \leq \fra...

Γεια σας, καλημέρα. Η προσπάθειά μου για την όμορφη ανίσωση. Δουλεύουμε φυσικά για $x>0$. Ισοδύναμα, $2x^{2}+4(2x-7)^{3} \leq x \sqrt{x}+7x \Leftrightarrow$ $x(2x-7)+4(2x-7)^{3} \leq x \sqrt{x} \Leftrightarrow$ $(2x-7)[x+4(2x-7)^{2}] \leq x \sqrt{x} \Leftrightarrow$ $\frac{2x-7}{\sqrt{x}}[4(\frac{2x...