Γωνίες σε σχέση.pngΤο σημείο $B$ κινείται στην κάθετη στο άκρο $O$ της διαμέτρου $OA$ ενός ημικυκλίου . Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα $BS$ και το $BA$ . Βρείτε - αν υπάρχει - κάποια σχέση μεταξύ των γωνιών : $\phi , \theta$ . Νόμος ημιτόνων στο $SAB,$ $\displaystyle \frac{{\sin \varphi }}{{SA}} = \frac{...

Δύο ημικύκλια που δεν κάνουν κύκλο.pngΑπό το σημείο $S$ την φέραμε εφαπτομένη προς το μπλε ημικύκλιο , κέντρου $O$ . α) Σχεδιάστε το μοβ ημικύκλιο διαμέτρου $OP$ , το οποίο εφάπτεται στην ευθεία σε σημείο $T$ . β) Υπολογίστε το μήκος του τμήματος $PT$ . Αλλιώς για την κατασκευή. Είναι $\displaystyl...

Δύο ημικύκλια που δεν κάνουν κύκλο.pngΑπό το σημείο $S$ την φέραμε εφαπτομένη προς το μπλε ημικύκλιο , κέντρου $O$ . α) Σχεδιάστε το μοβ ημικύκλιο διαμέτρου $OP$ , το οποίο εφάπτεται στην ευθεία σε σημείο $T$ . β) Υπολογίστε το μήκος του τμήματος $PT$ . α) Η κατασκευή όπως και οι προηγούμενοι, απ' ...

KARKAR έγραψε: ↑

Πέμ Μάιος 16, 2024 2:46 pm

Υψοφοβία.pngΣτο σχήμα έχουμε ένα συγκρότημα τεσσάρων ορθογωνίων τριγώνων . Ζητείται το ύψος του .

Οι πλευρές απέναντι από τις γωνίες είναι της μορφής αντίστοιχα.

rek2 έγραψε: ↑

Πέμ Μάιος 16, 2024 10:56 pm

Ας πάμε απλά .

Προεκτείνουμε, κατά τα γνωστά, τη διάμεσο κατά ίσο τμήμα, οπότε το τρίγωνο είναι ισοδύναμο με τρίγωνο πλευρών 10, 9, 7 κ.λπ.

Ακατάλληλα δεδομένα αλλά κάτι θα σκεφθείτε .pngΗ $AM$ είναι διάμεσος του τριγώνου $ABC$ . Υπολογίστε το εμβαδόν του . Στο αποτέλεσμα απαγορεύεται η παρουσία κλάσματος ! 1ο θεώρημα διαμέσων , $\displaystyle 49 + 81 = 50 + \frac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow a = 4\sqrt {10} $ Σκέφτομαι και γράφω.png 2ο...

Τραπεζιακή ελαχιστοποίηση.png$\bigstar$ Στο ορθογώνιο τραπέζιο του σχήματος το σημείο $S$ κινείται στην μικρή μη παράλληλη πλευρά . Υπολογίστε το $\cos\omega$ , την στιγμή κατά την οποία ελαχιστοποιείται το άθροισμα : $CS+SD$ . Έστω $E$ το συμμετρικό του $C$ ως προς $B.$ Αν η $DE$ τέμνει την $AB$ σ...

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ:
Οι διαγώνιοι του τέμνονται κάθετα.

Το είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Η είναι εφαπτομένη του κύκλου.

Καθετότητα.png Έστω ημικύκλιο κέντρου $O$ και διαμέτρου $AB$. Από σημείο $M$ της προέκτασης της $AB$ φέρνω τέμνουσα του ημικυκλίου. Η τέμνουσα αυτή συναντά πρώτα στο $D$ και μετά στο $C$ , το ημικύκλιο. Γράφω τούς κύκλους , $\left( {O,B,D} \right)\,\,\,$ και $\left( {O,A,C} \right)$ που τέμνονται α...

Ψύλλοι στ' άχυρα.pngΣε κύκλο $(O,5)$ , θεωρούμε τις εκατέρωθεν του κέντρου , παράλληλες χορδές $AB=6$ και : $CD=8$ . Η ευθεία $AO$ τέμνει την χορδή $CD$ στο σημείο $P$ , από το οποίο φέρουμε την παράλληλη προς την $CB$ , η οποία τέμνει την προέκταση της $AB$ , στο σημείο $S$ . Υπολογίστε την εφαπτο...

Παλαιολόγος.pngΧωρίζουμε τις ακτίνες $OA , OB$ , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , σε τμήματα $OK=y , KA=x$ και $OL=x , LB=y$ . Οι κύκλοι $(K , KA)$ και $(L , LB)$ , τέμνονται στα σημεία $T , P$ , ενώ η ευθεία $TP$ τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο σημείο $S$ . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{SA...

Δίδονται τα σημεία $\mathrm{A}(-1, 2)$, $\mathrm{B}(1, -2)$ και $\Gamma(2, 3)$. Να βρεθεί σημείο $\mathrm{M}$ επί του άξονα $y'y$, ώστε η παράσταση $\displaystyle{\mathrm{d} = \left | \overrightarrow{\mathrm{MA}} \right |^2 + \left | \overrightarrow{\mathrm{MB}} - 2 \overrightarrow{\mathrm{M} \Gamm...

Ισόπλευρο σε ορθογώνιο.2.png Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $AB$ ορθογωνίου $ABCD$ και $O$ το σημείο τομής των διαγωνίων του. Επί των τμημάτων $OA, OD$ θεωρώ τα σημεία $K, L$ αντίστοιχα, ώστε $MK=ML.$ α) Να δείξετε ότι οι γωνίες του τριγώνου $KLM$ παραμένουν σταθερές ανεξάρτητα από τις θέσεις των σημ...

Ισεμβαδικές δυσκολίες .pngΤο ορθογώνιο $ABCD$ έχει διαστάσεις $a \times b$ , ( εν προκειμένω : $8 \times 2$ ) . Στο "άνω" ημιεπίπεδο και εξωτερικά του ορθογωνίου , βρείτε σημείο $S$ , τέτοιο ώστε αν οι $SA , SB$ τέμνουν την $DC$ , στα σημεία $P , T$ αντίστοιχα , να προκύπτει η ισότητα : $(SPT)=(ABC...

Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα $\vec{\alpha}$, $\vec{\beta}$ για τα οποία ισχύει $\left | \vec{\alpha} \right | = x$, $\left | \vec{\beta} \right | = 3x-4$ και $\left | \vec{\alpha} + \vec{\beta} \right |=x^2$ όπου $x \in \mathbb{R}$. Να βρεθεί η τιμή του $x \in \mathbb{R}$. Να δειχθεί ότι $\vec{\a...

Είμαι κι εγώ από τους τυχερούς, όπως ο Θανάσης, αφού γνωρίζω ήδη την ποιότητα

του βιβλίου, πριν ακόμα από την αναθεωρημένη έκδοση Καλοτάξιδο, Τόλη!

Το πράσινο δεν πάει παραπάνω.pngΤο σημείο $S$ κινείται στη διάμετρο $AB$ ενός ημικυκλίου . Φέρουμε την εφαπτομένη $BT$ προς το ημικύκλιο διαμέτρου $AS$ - η οποία τέμνει το αρχικό στο σημείο $P$ - και την $AT$ , η οποία τέμνει το μεγάλο τόξο στο σημείο $Q$ . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνο...

Ανάλογα με το σημείο επαφής.pngΟι κύκλοι $(K,R)$ και $(L,r)$ εφάπτονται εξωτερικά σε σημείο $S(a,b)$ του πρώτου τεταρτημορίου , ενώ ο πρώτος εφάπτεται του $Ox$ στο $P$ και ο δεύτερος του $Oy$ στο $T$ . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{R}{r}$ . Ειδικότερα υπολογίστε αυτόν τον λόγο αν : $(a,b)=(3,4)$ , ...

Δίνεται τετράγωνο πλευράς Στη μεσοκάθετο του και εκτός του τετραγώνου,

θεωρώ ένα σημείο Να βρείτε τη θέση του αν είναι γνωστό ότι

Γωνιολογία σε ισόπλευρο.png Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ABC,$ τυχόν σημείο $D$ της πλευράς $AB$ και σημείο $E$ της $AC$ ώστε $DE||BC.$ Το $K$ είναι περίκεντρο του τριγώνου $ADE$ και το $M$ μέσο του $BE.$ α) Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου $KMC.$ β) Αν επιπλέον $A\widehat CK=B\widehat CM$ να υπολογ...