Η αναζήτηση βρήκε 1253 εγγραφές

από Al.Koutsouridis
Πέμ Νοέμ 26, 2020 11:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 284

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

socrates έγραψε:
Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:07 pm
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων a,b για τις οποίες τα πολυώνυμα 6x^2-24x-4a και x^3+ax^2+bx-8 έχουν μη αρνητικές πραγματικές ρίζες.
Σίγουρα είναι σωστή η διατύπωση; Μήπως είναι π.χ. για b \geq0. Βγαίνει περίεργη περιοχή για τα a,b με b <0.
από Al.Koutsouridis
Δευ Νοέμ 23, 2020 11:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Απόλυτο-παραμετρική
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 207

Re: Απόλυτο-παραμετρική

george visvikis έγραψε:
Δευ Νοέμ 23, 2020 11:01 pm

Αυτό εξυπακούεται, αφού έχουμε ξεκαθαρίσει από την αρχή ότι a\ne0.
Σωστά! :coolspeak:
από Al.Koutsouridis
Δευ Νοέμ 23, 2020 8:59 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Απόλυτο-παραμετρική
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 207

Re: Απόλυτο-παραμετρική

Για την πληρότητα της λύσης ας αναφέρουμε και τον έλεγχο

\dfrac{{2a + 7}}{{a + 1}} \neq \dfrac{{2a - 7}}{{a - 1}} για a >0.
από Al.Koutsouridis
Κυρ Νοέμ 22, 2020 2:01 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ομοιόθετες επικαλύψεις
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 45

Ομοιόθετες επικαλύψεις

Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο στο επίπεδο. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ομοιόθετων με αυτό παραλληλογράμμων με θετικό συντελεστή ομοιοθεσίας μικρότερο της μονάδας, που χρειάζονται για να το επικαλύψουν.
από Al.Koutsouridis
Σάβ Νοέμ 21, 2020 9:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 132

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20. 2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη. 6. 7. 8. Στον πίνακα γράφτηκαν $n$ δευτεροβάθμια τριώνυμα της μορφής $\star x^2 + \star x + \star$ (στην θέση των συντελεστών είναι γραμμένα αστέρια). Μπορούμε άραγε για κάποιο $n > 100$ να τοποθετήσουμ...
από Al.Koutsouridis
Σάβ Νοέμ 21, 2020 1:58 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Απόλυτο-παραμετρική
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 207

Re: Απόλυτο-παραμετρική

:coolspeak: Να βρείτε γενικά για ποιές πραγματικές τιμές του a έχει η εξίσωση ακριβώς τέσσερεις ρίζες.
από Al.Koutsouridis
Σάβ Νοέμ 21, 2020 1:21 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Απόλυτο-παραμετρική
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 207

Απόλυτο-παραμετρική

Να βρείτε την ελάχιστη ακέραια τιμή της παραμέτρου a, για την οποία η εξίσωση

\left | \dfrac{7-\left | x\right |}{\left | x\right|-2} \right | = a

έχει ακριβώς τέσσερεις ρίζες.
από Al.Koutsouridis
Παρ Νοέμ 20, 2020 9:59 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Αναζητώντας το μέσο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 185

Re: Αναζητώντας το μέσο

Αναζητώντας το μέσο.pngΣε σημείο $S$ της πλευράς $AC$ , ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , με : $\hat{A}=90^0 , AC=b , AB=c$ υψώνουμε κάθετη , η οποία τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο $T$ . Φέρουμε $TM \perp BC$ . Υπολογίστε το τμήμα $AS$ , αν το σημείο $M$ είναι το μέσο της $BC$ Αν $T^{\prime...
από Al.Koutsouridis
Τετ Νοέμ 18, 2020 9:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 1982
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 105

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 1982

Θέματα της 10ης τάξης Πρόβλημα 1. α) Να αποδείξετε, ότι αν από κάποιο εσωτερικό σημείο ενός κανονικού τετράεδρου όλες οι ακμές του φαίνονται υπό ίσες γωνίες, τότε αυτό το σημείο είναι το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας του τετράεδρου. β) Υπάρχουν άραγε εκτός του εσωτερικού ενός (τυχαίου) τετράεδ...
από Al.Koutsouridis
Δευ Νοέμ 16, 2020 10:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Δεν τέμνει στο μέσο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 127

Re: Δεν τέμνει στο μέσο

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 16, 2020 8:13 pm
Όχι μέσο.png Χωρίς λόγια ...
Εν γένει υπάρχουν δυο σημεία M για τα οποία MK=ML, αρκεί να μην ξεχαστεί.
από Al.Koutsouridis
Δευ Νοέμ 16, 2020 3:05 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Δεν τέμνει στο μέσο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 127

Δεν τέμνει στο μέσο

Στο τρίγωνο $ABC$ με $(\angle C =90^0)$ στην κάθετο $BC$ δίνονται τα σημεία $K$ και $L$ τέτοια, ώστε $\angle CAK=\angle KAL=\angle LAB$. Στην υποτείνουσα $AB$ δίνεται σημείο $M$ τέτοιο, ώστε $ML=KL$. Να αποδείξετε, ότι η κάθετος από το σημείο $C$ προς την ευθεία $AK$ δεν τέμνει το τμήμα $ML$ στο μέσο.
από Al.Koutsouridis
Σάβ Νοέμ 14, 2020 4:09 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γιατί τέμνονται;
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 117

Γιατί τέμνονται;

Στο σχολικό μας βιβλίο στην εισαγωγή του κεφαλαίου "Παραλληλόγραμμα-Τραπέζια" αναφέρει:

Κάθε κυρτό τετράπλευρο A B \Gamma \Delta έχει δύο διαγωνίους A \Gamma και B \Delta, οι οποίες τέμνονται σε εσωτερικό σημείο τους.

Αποδείξτε το.
από Al.Koutsouridis
Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:06 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα σε πεπερασμένο σύνολο αριθμών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 107

Ανισότητα σε πεπερασμένο σύνολο αριθμών

Οι αριθμοί $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}$ είναι μη αρνητικοί, εξάλλου $a_{1}=a_{7}=0$. Να αποδείξετε, ότι για κάποιο δείκτη $i \in \{ 2,3,4,5,6 \}$ ικανοποιείται η ανισότητα $a_{i-1}+a_{i+1} \leq a_{i} \sqrt{3}$. Μπορεί να ισχύει η ισότητα στις ανισότητες για κάθε $i \in \{ 2,3,4,...
από Al.Koutsouridis
Πέμ Νοέμ 12, 2020 8:57 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εγκλωβίζοντας την ρίζα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 114

Εγκλωβίζοντας την ρίζα

Είναι γνωστό ότι a^5-a^3+a=2. Να αποδείξετε, ότι 3< a^6 < 4.
από Al.Koutsouridis
Τετ Νοέμ 11, 2020 1:42 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Χρωματισμός πολυέδρου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 188

Re: Χρωματισμός πολυέδρου

Δίνεται πολύεδρο. Να δειχθεί ότι μπορούν να χρωματισθούν οι έδρες του με το πολύ έξι χρώματα έτσι ώστε έδρες με κοινή ακμή να έχουν διαφορετικό χρώμα. Ειναι γνωστό Euler οτι αν $E$,$A$, $K$ είναι αντίστοιχα το σύνολο των εδρών,ακμών,κορυφών τότε ισχύει $|E|+|K|=|A|+2$ Έστω $E_{m}$ το σύνολο των $m-...
από Al.Koutsouridis
Κυρ Νοέμ 08, 2020 12:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολλαπλά αθροίσματα ψηφίων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 161

Re: Πολλαπλά αθροίσματα ψηφίων

$4n\mod 9 \equiv 2020 \mod 9 = 4$. Άρα $n\equiv 1\mod 9$, Αυτή η παρατήρηση μειώνει αισθητά τις περιπτώσεις. Ας την διατυπώσουμε με λόγια: αν το άθροισμα τεσσάρων ακεραίων που έχουν το ίδιο υπόλοιπο με την διαίρεση με το $9$ έχει υπόλοιπο $4$ με την διαίρεση με το $9$, τότε ο καθένας από αυτούς του...
από Al.Koutsouridis
Σάβ Νοέμ 07, 2020 1:11 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 35
Προβολές: 3173

Re: ΘΑΛΗΣ 2020

Τα θέματα νομίζω ήταν σχετικά καλά αν και τα περισσότερα ήταν πάνω σε ιδέες που έχουν χρησιμοποιηθεί τα τελευταία χρόνια. Δε νομίζω με τον περιορισμό των 2 ωρών και 3 θεμάτων θα ήταν σοφό να γίνει ο διαγωνισμός πιο δύσκολος. Σημαντικό είναι σε πρώτη φάση ότι έγινε. Ο μόνος ενδοιασμός μου είναι σχετι...
από Al.Koutsouridis
Παρ Νοέμ 06, 2020 11:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολλαπλά αθροίσματα ψηφίων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 161

Πολλαπλά αθροίσματα ψηφίων

Με αφορμή το πρόβλημα 1 της Α' Λυκείου του "Θαλή" 2020. Έστω $\displaystyle{\Sigma (\nu )}$ το άθροισμα των ψηφίων του θετικού ακέραιου $\nu$ . Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $\nu$ που ικανοποιούν την ισότητα: $\displaystyle{\nu +\Sigma(\nu) +\Sigma \left(\Sigma \left (\nu \right ) \right )...
από Al.Koutsouridis
Παρ Νοέμ 06, 2020 8:24 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 35
Προβολές: 3173

Re: ΘΑΛΗΣ 2020

achilleas έγραψε:
Παρ Νοέμ 06, 2020 7:59 pm

Αντιγράφω τη λύση που μόλις μου έστειλε για έλεγχο ορθότητας ένας μαθητής μας, ο Θωμάς Πνευματικός:
Αρκεί να έχει γίνει και ο έλεγχος ότι κάθε παράγοντας είναι μεγαλύτερος του 1, για να μην χάσει κάποιο βαθμό ο μαθητής.
από Al.Koutsouridis
Τετ Νοέμ 04, 2020 2:37 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Το πολύ 2
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 408

Re: Το πολύ 2

$\bigstar$ Η συνάρτηση $f$ είναι δις παραγωγίσιμη και κυρτή στο $\mathbb{R}$ . Δείξτε ότι μια οποιαδήποτε ευθεία , μπορεί να τέμνει την γραφική παράσταση της $f$ , σε δύο - το πολύ - σημεία . Η εκφώνηση (μπορεί να τέμνει την γραφική παράσταση της $f$ , σε δύο - το πολύ - σημεία) ισχύει γενικά για κ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση