Η αναζήτηση βρήκε 1319 εγγραφές

από Al.Koutsouridis
Δευ Φεβ 22, 2021 9:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Προς τους ενδιαφερόμενους για IMO2020
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 2485

Re: Προς τους ενδιαφερόμενους για IMO2020

Ας την αναλάβει η Ελλάδα και ας την εντάξει στο πρόγραμμα για τα 200 χρόνια από την Ελληνική Επανάσταση. Και από που ξεκινήσε η επανάσταση; Από την Καλαμάτα. Ας την κάνουμε εδώ λοιπόν!!! :D :D :D Στον σύγχρονο Ελλαδικό χώρο, ναι, γενικά η Ελληνική Επανάσταση ξεκίνησε σαν σήμερα πριν από 200 χρόνια ...
από Al.Koutsouridis
Σάβ Φεβ 20, 2021 5:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 129

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020/21. 2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη. 1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι τρεις φυσικοί αριθμοί: δυο δεκαψήφιοι αριθμοί $a$ και $b$, καθώς και το άθροισμά τους $a+b$. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός περιττών ψηφίων που μπορεί να είναι γραμμένο...
από Al.Koutsouridis
Σάβ Φεβ 13, 2021 4:45 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Εκθετική με παράμετρο
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 85

Εκθετική με παράμετρο

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a για τις οποίες η εξίσωση:

\left ( \sqrt{x^2-3ax+8} +\sqrt{x^2-3ax+6}\right )^x +\left ( \sqrt{x^2-3ax+8} -\sqrt{x^2-3ax+6}\right )^x = 2 \left ( \sqrt{2}\right )^x

έχει μοναδική λύση.
από Al.Koutsouridis
Σάβ Φεβ 13, 2021 12:26 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Ορισμός κύκλου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 67

Ορισμός κύκλου

Στο σχολικό βιβλίο έχει τον παρακάτω ορισμό του κύκλου:

"Κύκλος με κέντρο O και ακτίνα \rho λέγεται το επίπεδο σχήμα του οποίου όλα τα σημεία απέχουν από το O απόσταση ίση με \rho."

Είναι ο ορισμός σωστός; Ποιά άλλα σχήματα ορίζει ο παραπάνω ορισμός;
από Al.Koutsouridis
Παρ Φεβ 12, 2021 10:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 2η μέρα)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 231

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 2η μέρα)

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020/21. 2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 11η τάξη. 1. Ο Βασίλης έγραψε στα κελιά ενός πίνακα $9 \times 9$ τους φυσικούς αριθμούς από το $1$ έως το $81$ (σε κάθε κελί από έναν αριθμό, όλοι αριθμοί είναι διαφορετικοί). Προέκυψε ότι οποιοιδήποτε δυο αριθμο...
από Al.Koutsouridis
Πέμ Φεβ 11, 2021 6:25 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σημείο καμπής
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 279

Re: Σημείο καμπής

Το πρόβλημα έχει λύση όταν τα τόξα δεν τέμνουν τις πλευρές $AD, BC$ σε εσωτερικά σημεία. Αυτό συμβαίνει όταν $\displaystyle \frac{a}{b} \ge \sqrt 3 .$ Νομίζω το πρόβλημα έχει λύση πάντα, αν υποθέσουμε ότι η καμπύλη μας ξεκινάει και τελειώνει στα άκρα μιας διαγωνίου. Αρκεί τα κέντρα $K.L$ να είναι α...
από Al.Koutsouridis
Δευ Φεβ 08, 2021 7:50 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.
Απαντήσεις: 32
Προβολές: 1294

Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

Το κέντρο $S$ αυτών των σφαιρών κινείται σε έλλειψη που είναι η τομή της κυλινδρικής επιφάνειας με βάση τον κύκλο κέντρου $O$, το σημείο τομής της $AB$ με το επίπεδο $P$ και ακτίνα ίση με $\sqrt{OA \cdot OB}$ με το μεσοκάθετο επίπεδο του τμήματος $AB$. Πολύ σωστά γράφει, αποδείχνει και παρουσιάζει ...
από Al.Koutsouridis
Κυρ Φεβ 07, 2021 11:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.
Απαντήσεις: 32
Προβολές: 1294

Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

1. Δίνεται επίπεδο $\left( P \right)$ και δύο σημεία $A,\;B$ που δεν ανήκουν σε αυτό και ανήκουν στον ίδιο ημιχώρο από τους δύο που το επίπεδο $\left( P \right)$ χωρίζει τον χώρο. Να κατασκευαστεί σφαίρα που διέρχεται από τα σημεία $A,\;B$ και εφάπτεται στο επίπεδο $\left( P \right).$ Πόσες τέτοιες...
από Al.Koutsouridis
Κυρ Φεβ 07, 2021 4:40 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 447

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020/21. 1η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 11η τάξη. 1. Ένας θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του $1000000$ δίνει το ίδιο υπόλοιπο στην διαίρεση με τους αριθμούς $40$ και $625$. Ποιο μπορεί να είναι το ψηφίο τον χιλιάδων αυτού του αριθμού; (Ν. Αγκαχάνοβ, Κ. Σ...
από Al.Koutsouridis
Σάβ Φεβ 06, 2021 8:07 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Tρείς κύκλοι με κοινή εφαπτομένη
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 613

Re: Tρείς κύκλοι με κοινή εφαπτομένη

Έστω $M$ το σημείο επαφής της $AB$ και του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε τρίγωνο $ABC$. Έστω $T$ τυχαίο σημείο της πλευράς $BC$ ,διάφορο από τα $B$ και $C$.Αποδείξτε ότι οι τρείς κύκλοι που είναι εγγεγραμμένοι στα τρίγωνα $BMT,MTA,ATC$ εφάπτονται μιας ευθείας Αρχικά θα αποδείξουμε το παρακάτω β...
από Al.Koutsouridis
Σάβ Φεβ 06, 2021 2:32 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Αριθμητική πρόοδος
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 207

Re: Αριθμητική πρόοδος

:oops: Για όσους προσπάθησαν να λύσουν το πρόβλημα απλά να ενημερώσω ότι έχει αλλαχθεί η εκφώνηση, ύστερα από παρατήρηση του κ.Ρεκούμη (rek2). Το σημείο: "...είναι μικρότερο ακριβώς κατά δυο φορές από ότι..." έγινε το σωστό " είναι μικρότερο ακριβώς κατά δυο από ότι...".
από Al.Koutsouridis
Τετ Φεβ 03, 2021 12:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Συμπεράσματα...στις συνέπειες ΘΜΤ
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 361

Re: Συμπεράσματα...στις συνέπειες ΘΜΤ

Λάθος. Καθώς και η σταθερή μηδενική συνάρτηση αποτελεί αντιπαράδειγμα.
από Al.Koutsouridis
Τετ Φεβ 03, 2021 10:15 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: "Διοφαντική"
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 282

Re: "Διοφαντική"

:coolspeak: Τα λόγκο νομίζω δεν χρειάζονται. Περιμένουμε και μια πιο ευφάνταστη λύση ;)
από Al.Koutsouridis
Τρί Φεβ 02, 2021 9:03 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: "Διοφαντική"
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 282

"Διοφαντική"

Να λύσετε στους θετικούς ακέραιους την εξίσωση

31 \left ( xyzt +xy+xt+zt+1 \right ) = 40 \left (yzt +y+t \right).
από Al.Koutsouridis
Δευ Φεβ 01, 2021 3:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10-11η τάξη, 2012)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 327

Re: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10-11η τάξη, 2012)

Απλά θεώρησα ότι το $a+c>a-1$ προφανές άτοπο, αλλά όντως θα έπρεπε να το γράψω... Αυτό είναι προφανές, το μη προφανές είναι αν σε αυτό συμπεριλήφθηκε η περίπτωση $a-1=0$ ή όχι. Πάλι εύκολα οδηγούμαστε σε άτοπο, αλλά δεν είναι φανερό από το παραπάνω βήμα ή στην αρχική λύση αν εξετάστηκε. Το έγραψα π...
από Al.Koutsouridis
Δευ Φεβ 01, 2021 10:07 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10-11η τάξη, 2012)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 327

Re: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10-11η τάξη, 2012)

Για την 2 Ας υποθέσουμε ότι $a+c$ πρώτος. Αρχικά, αφού το $LHS$ είναι θετικός ακέραιος, έτσι πρέπει και το $RHS$. Τότε $ab-cd>0 \Rightarrow ab>cd \Rightarrow \frac{a}{d} > \frac{c}{b} > \frac{c}{c} = 1 \Rightarrow a>d \Rightarrow a+c>b+d$. Με $mod.(a+c)$ τώρα θα είναι $b+d=ab-cd (mod.(a+c))$ $\Righ...
από Al.Koutsouridis
Κυρ Ιαν 31, 2021 3:14 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10-11η τάξη, 2012)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 327

Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10-11η τάξη, 2012)

Ανοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικό-μαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πετρούπολης για τις τάξεις 10-11η, 2012. 1. Σε μια σκακιέρα $10 \times 10$ είναι τοποθετημένοι μερικοί ίπποι, εξάλλου σε κάθε τετράγωνο $2 \times 2$ βρίσκεται τουλάχιστον ένας ίππος. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κελιών που μπορούν να απειλού...
από Al.Koutsouridis
Τετ Ιαν 20, 2021 8:09 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Συμμετρικές γραφικές παραστάσεις
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 269

Re: Συμμετρικές γραφικές παραστάσεις

Και εν τέλει ποιες τιμές του a μας δίνει αυτός ο συλλογισμός;
από Al.Koutsouridis
Κυρ Ιαν 17, 2021 7:08 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Σημεία σε τετράγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 292

Re: Σημεία σε τετράγωνο

Σαν δεύτερο ερώτημα να γίνει η κατασκευή γεωμετρικά (με κανόνα και διαβήτη) του τετραγώνου ABCD και στις δυο περιπτώσεις που τα σημεία K,L,M,N είναι σημεία των πλευρών του ή των προεκτάσεων. (Μόνο το σχήμα αρκεί μιας και δεν ήταν το ζητούμενο στην άσκηση.)
από Al.Koutsouridis
Κυρ Ιαν 17, 2021 6:21 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστη τιμή έκφρασης συντελεστών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 168

Re: Μέγιστη τιμή έκφρασης συντελεστών

Ευχαριστώ τον Αλέξανδρο για την λύση. Σε αυτό το σημείο, αν θέλουμε να αποφύγουμε τις παραγώγους μπορούμε και να παραγοντοποιήσουμε κατάλληλα. Επιλέγουμε $a=\sqrt{2}$ και θα δείξουμε $\sqrt{2}x^2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leq \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ για κάθε $x\in(-1,1)$. Παρατηρούμε ότι και τα δυο μέλη ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση