Πρόβλημα 2. Έστω $\mathbb{R}^{+}$ το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε για κάθε $x \in \mathbb{R}^+$, υπάρχει ακριβώς ένας $y \in \mathbb{R}^+$ που ικανοποιεί την:
$xf(y)+yf(x) \leq 2$.

Απάντηση: Μοναδική λύση ...

Μάλλον ξεχάστηκε- παραθέτω μία απόδειξη για τις δύο τελευταίες ιδιότητες.

Αρχικά, έστω $W$ το σημείο επαφής του $A-$ μικτοεγγεγραμμένου κύκλου με τον $(O)$ (χρησιμοποιώ το σχήμα του κύριου Βήττα).
Για την πρώτη ιδιότητα, ζητώ $A-Z-W$ συνευθειακά.
Είναι επίσης γνωστό, ότι το $G$ ταυτίζεται με το ...

Καλησπέρα!

Δίνεται μια (μη εκφυλισμένη) υπερβολή της μορφής , όπου . Πώς θα προσδιορίσουμε το κέντρο της;

Ας δούμε μια ακόμη ιδιότητα στο όμορφο πρόβλημα του Γιάννη.
Με τα γράμματα στο σχήμα του κύριου Βήττα: Η διέρχεται από το σημείο επαφής του περιγεγραμμένου του με το μικτοεγγεγραμμένο κύκλο, που ανιστοιχεί στην κορυφή .
Μάλλον ούτε αυτό είναι εύκολο

Εντάξει, ευχαριστώ πολύ!

A4. Έστω $a$ και $b$ θετικοί ακέραιοι μεγαλύτεροι του $2.$ Να αποδείξετε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος $k$ και ακολουθία $n_1,n_2,...,n_k$ θετικών ακεραίων, τέτοια, ώστε $n_1=a,n_2=b$ και $n_i+n_{i+1} | n_in_{i+1},$ για κάθε $i=1,2,..,k-1.$

Φοβάμαι ότι υπάρχει κάποιο πρόβλημα με τη διατύπωση του ...

Ευχαριστώ πάρα πολύ για τις χρήσιμες προτάσεις σας!!

:clap2: Εντυπωσιακά γρήγορη λύση... :clap2:
Μάλλον δεν ήταν και τόσο δύσκολη η άσκηση :cry:
Υπάρχουν συγκεκριμένες τεχνικές όπως αυτή για τη λύση τέτοιων ασκήσεων; Αν ναι, πού μπορεί κανείς να τις βρει;

Edit: Αν και πολύ όμορφη ιδέα το $mod 32$, δεν πρόσεξα ούτε κι εγώ ότι δεν τελειώνει την ...

Χρόνια πολλά σε όλους και Χριστός Ανέστη.

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί και τέτοιοι ώστε:

Για το 4β) των μικρών:
Θεωρούμε το μαθητή, έστω $A$, που ανήκει στο μέγιστο αριθμό ομάδων και έστω $O(A)$ ο αριθμός από ομάδες στις οποίες ανήκει. Θέλουμε $O(A)=112$.
Έστω ότι $O(A)<112$. Τότε μπορούμε να θεωρήσουμε μία ομάδα $X$ στην οποία δεν ανήκει ο $O$. Τότε αυτή έχει κοινούς μαθητές με κάθε ...

Ευχαριστούμε Παναγιώτη
Στο 2) των μικρών να σημειώσω ότι αν κάποιος δεν γνώριζε το λήμμα $AH=2OM$ μπορούσε να προσπαθήσει να αποδείξει ότι $AO // HO_1$ που δεν είναι πολύ δύσκολο με κυνήγι γωνιών. (Αν δεν ασχοληθεί κάποιος θα επανέλθω)
Η απόδειξη που έδωσε ο Παναγιώτης είναι ίσως η πιο γρήγορη. Μια ...

Γεια σε όλους!
Άσκηση 29 (?)
(Μάλλον για Juniors)
Αν είναι πρώτοι αριθμοί, να λυθεί η εξίσωση:

Ευχαριστώ πολύ τον κύριο Νίκο και τον κύριο Στάθη για τις πανέμορφες λύσεις τους! Αν ξεφεύγαμε λίγο από την ύλη της Α Λυκείου, θα μπορούσαμε (στο σχήμα του κύριου Στάθη, έχοντας αποδείξει ότι $\angle{MHK}=\angle{HAK} (**)$) να συνεχίσουμε ως εξής: αφού το $MTAL$ είναι εγγράψιμο, $KT\cdot KA=KM\cdot ...

Έστω τρίγωνο, το μέσο της πλευράς και το ορθόκεντρο (σημείο τομής των υψών του). Η κάθετη στην , στο , τέμνει την εσωτερική και την εξωτερική διχοτόμο της γωνίας στα σημεία αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι .

Ας δουμε μια αντιμετώπιση!
Από το 1) Έχουμε ότι $a_{p_1^{k_1}...p_n^{k_n}}=a_{p_1}^{k_1}...a_{p_n}^{k_n} (1)$ και από το 2) ότι $k≠j⇒a_k≠a_j (2)$ Επίσης, $a_1=1$. Προφανώς τώρα κάθε $a$ με σύνθετο δείκτη θα αντιστοιχεί σε σύνθετο αριθμό, και αφού όλοι οι πρώτοι εμφανίζονται στην ακολουθία, πρέπει ...

Εύκολη άσκηση και καλή "προπόνηση" στο σημείο Miquel
Πρώτα, μια παρατήρηση:
Ήταν αναγκαία η διευκρίνιση: το σημείο Miquel είναι υποχρεωτικά το περίκεντρο έστω $O$ (η απόδειξη είναι απλή).
Αν δεν γνωρίζαμε ότι $\widehat{MNK}=\widehat{ABC}, \widehat{KMN}=\widehat{BAC}$ τότε το σημείο Miquel θα ...

Ας είναι ένα τρίγωνο. Παίρνουμε σημεία και τέτοια ώστε να ισχύει . Στο φέρνουμε κάθετη στην η οποία τέμνει την σε σημείο . Να δειχθεί ότι είναι η διχοτόμος της γωνίας .

1. Να αποδειχθεί ότι, για θετικούς πραγματικούς αριθμούς ισχύει
2. (Εφαρμογή) Να αποδειχθεί ότι για θετικούς πραγματικούς με ισχύει

Μια πολύ ωραία άσκηση που είδα τις προάλλες:
Έστω $ABCD$ ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $(AB\parallel{CD})$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\omega_1(O,R_1)$. Γράφουμε κύκλο $\omega_2(O,R_2), R_2<R_1$ και ας είναι $\omega_2∩BD=B_1,D_1$. Αν $AB_1∩\omega_1=E, AD_1∩\omega_1=F$, να δειχθεί ότι η $EF$ διέρχεται από ...

Κύριε Μάγκο, πώς βοηθάει η παράγωγος πολυωνύμου στην επίλυση της άσκησης;