Άσκηση 25 Seniors
Αν $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί να δειχθεί ότι

$\displaystyle\sum_{cyc}\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq1$

Η ανισότητα κάνοντας τα κλάσματα ομώνυμα και εκτελώντας έναν πολύ μεγάλο βαρετό όγκο πράξεων γίνεται (νομίζω :roll: ):

$a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2 \geq ab^2c^3+bc^2a^3+ca^2b^3$

Όμως ...

Μία κατασκευή, που προορίζεται για θέμα Β.
Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία, για κάθε $x\in \mathbb{R}$, ισχύει:

$\displaystyle{f^{2}(x)=x^{2}-\sigma \upsilon \nu ^{2}x-2\left | x \right |\eta \mu x+1}$
(α) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική ...

Έστω $n\in \mathbb{N}$, η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ και η ομαλή (άπειρες φορές παραγωγίσιμη) συνάρτηση $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. Αν $f(0)=g^{(n)}(0)=0$ και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύουν:
$f'(x)\neq 0 \hspace{4mm} (1)$

$\displaystyle \left ( \frac ...

${f}'(x)=\frac{1}{g(x)}=\frac{{g}'(x)+1}{g(x)+x}\Leftrightarrow {g}'(x)g(x)=x\Leftrightarrow g(x)=\sqrt{x^{2}+c}$
με c=1 αφού g(0)=0 και $f(x)=ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)$
Έστω $h(x)=f(x+2)-f(x) , x>0$
h γν.φθίνουσα αρα $h(x^{2})>h(2x)\Leftrightarrow x^{2}<2x\Leftrightarrow x<2$

Έστω x>0 από ΘΜΤ για την ...

${f}'(x)=\frac{1}{g(x)}=\frac{{g}'(x)+1}{g(x)+x}\Leftrightarrow {g}'(x)g(x)=x\Leftrightarrow g(x)=\sqrt{x^{2}+c}$
με c=1 αφού g(0)=0 και $f(x)=ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)$
Έστω $h(x)=f(x+2)-f(x) , x>0$
h γν.φθίνουσα αρα $h(x^{2})>h(2x)\Leftrightarrow x^{2}<2x\Leftrightarrow x<2$

Έστω x>0 από ΘΜΤ για την f ...