Η αναζήτηση βρήκε 1387 εγγραφές

από dement
Κυρ Αύγ 18, 2019 4:51 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2019/1/5
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 316

Re: IMC 2019/1/5

Εύκολα αποδεικνύεται το Λήμμα: Για κάθε $A, B \in M_m (\mathbb{Z})$ και $n \in \mathbb{Z}$ ισχύει $\det(A+nB) \equiv \det(A) \mod n$. Λαμβάνοντας υπόψη την αντιμεταθετικότητα, η αρχική συνθήκη γράφεται ως $MN = 2019I$, όπου $M = A^2 + 2AB + 4B^2, \ N = A^2 - 2AB + 4B^2$. Έτσι, $M-N = 4 A B$ και, από...
από dement
Σάβ Αύγ 17, 2019 7:50 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Περίεργη Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 447

Re: Περίεργη Ανισότητα

Έστω οι θετικοί πραγματικοί $a_1,...,a_n$ με $n\geq 2$. Να εξετάσετε αν ισχύει η: $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2+a_1a_2\cdots a_n+2n-1\geq 3(a_1+a_2+\cdots+a_n)$ (Περιλαμβάνω το $0$ στις πιθανές τιμές των όρων χωρίς βλάβη, λόγω συνέχειας). Το μέρος της παράστασης που περιέχει τους όρους $a_1, a_2$ γράφε...
από dement
Πέμ Αύγ 15, 2019 5:41 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Άλλη μία ορίζουσα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 324

Re: Άλλη μία ορίζουσα

Η αρχική συνθήκη γράφεται $(P+I)(Q+I)=I \implies Q+I = (P+I)^{-1}$. Έχουμε $I + 2P + 3Q = 2(P+I) - 4I + 3(Q+I) = (Q+I) [ 2(P+I)^2 -4(P+I) + 3I]$. Οι πίνακες $P, Q$, ως μηδενοδύναμοι, έχουν μοναδική ιδιοτιμή το $0$. Άρα και οι $P+kI, Q + kI$ έχουν μοναδική ιδιοτιμή το $k$ και η ορίζουσα ισούται με (θ...
από dement
Πέμ Αύγ 15, 2019 2:42 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα από Mathematical Inequalities
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 332

Re: Ανισότητα από Mathematical Inequalities

Για το πρώτο σκέλος μπορούμε εναλλακτικά να παρατηρήσουμε ότι η συνάρτηση \displaystyle \frac{8}{x} - 10 x^2 έχει μοναδικό σημείο καμπής (από κυρτή σε κοίλη) και έτσι η παράσταση ελαχιστοποιείται για ισότητα των δύο μικρότερων από τα x, y, z.
από dement
Τρί Αύγ 13, 2019 9:08 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Εύρεση διψήφιου mod
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 558

Re: Εύρεση διψήφιου mod

Παρατήρησε ότι χρησιμοποιείς συνεπαγωγές και όχι ισοδυναμίες. Το τελικό σου αποτέλεσμα λέει ότι το a πρέπει να είναι περιττό, που διαφωνεί με το δεύτερο δεδομένο.
από dement
Τρί Αύγ 13, 2019 7:08 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά με λογάριθμο και ζήτα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 411

Re: Σειρά με λογάριθμο και ζήτα

Ονομάζουμε $\displaystyle a_{k,n} \equiv \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) - \sum_{i=1}^n \frac{1}{(k+1)i^{k+1}}$. Η οικογένεια ακολουθιών $(a_k)_n$ συγκλίνει μονότονα κατά σημείο στην $\displaystyle b_k \equiv \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) - \frac{\zeta(k+1)}{k+1}$. Επίσης, για κάθε $n \in \m...
από dement
Σάβ Αύγ 10, 2019 12:38 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα υπό συνθήκη
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 683

Re: Ανισότητα υπό συνθήκη

Εναλλακτικά, η παράγωγος της f(x) = a (b+x) (c-x) \left[ a^2 + (b+x)^2 + (c-x)^2 \right] στο 0 είναι η f'(0) = a (b-c) \left[ -a^2 - (b-c)^2 \right] (ετερόσημη του b-c), από όπου συνάγεται εύκολα ότι η παράσταση μεγιστοποιείται για a = b = c = 1.
από dement
Τετ Αύγ 07, 2019 3:33 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2019/1/4
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 283

Re: IMC 2019/1/4

Ορίζουμε την ακολουθία $a_0, a_1, \ldots$ με την ακόλουθη αναδρομική σχέση: $\displaystyle a_0 = 1, a_1 = 2 $ και $\displaystyle (n + 3)a_{n+2} = (6n + 9)a_{n+1} − na_n$ για $\displaystyle n \geqslant 0$. Να αποδειχθεί ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι ακέραιοι. Θα δουλέψουμε με τη γεννήτρια συ...
από dement
Τρί Αύγ 06, 2019 9:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Του Σωτήρος
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 643

Re: Του Σωτήρος

Χρόνια πολλά σε όλους τους εορτάζοντες και ιδιαίτερα στους Σωτήρη Λουρίδα, Σωτήρη Στόγια. Ευχές και συγχαρητήρια στον Σωτήρη Αρμενιάκο.
από dement
Κυρ Ιούλ 28, 2019 3:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Τιμές της Γ
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 565

Re: Τιμές της Γ

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα $\displaystyle \Gamma (s) \Gamma (s + 1/2) = 2^{1-2s} \pi^{1/2} \Gamma (2s)$. Έτσι έχουμε: $\displaystyle \Gamma \left( \frac{1}{14} \right) = 2^{6/7} \pi^{1/2} \frac{\Gamma (1/7)}{\Gamma(4/7)}$ $\displaystyle \Gamma \left( \frac{9}{14} \right) = 2^{5/7} \pi^{1/2} \frac{\...
από dement
Δευ Ιούλ 22, 2019 4:08 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
Θέμα: Απορία
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1110

Re: Απορία

Ας αναφέρω ότι η τελευταία αναφορά σε συναρτήσεις επί δεν πάει ως το 1983. Έδωσα 1η Δέσμη το 1991 και το σχολικό βιβλίο, όπως και το πρόγραμμα, περιλάμβανε την έννοια.
από dement
Σάβ Ιούλ 20, 2019 6:09 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 5164

Re: IMO 2019

ΘΕΡΜΟΤΑΤΑ ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ ΣΤΙΣ ΟΜΑΔΕΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΚΑΙ ΚΥΠΡΟΥ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΤΟΥΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΠΙΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥΣ Και μία προσέγγιση στο Πρόβλημα 4: Πρόβλημα 4. Να βρείτε όλα τα ζεύγη (k, n) θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση $k! = (2^n − 1)(2^n − 2)(2^n − 4) ⋯ (2^n − 2^{n−1})$ Ορίζουμε $v_p (n)$ ως...
από dement
Τετ Μάιος 01, 2019 7:40 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 584

Re: 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1

Διαφορετικά: Υποθέτουμε ότι $a \leq c$ (μπορούμε πάντα να εναλλάξουμε τα $a, c$ και $b,d$). Το τριώνυμο ως προς $d$ μεγιστοποιείται για $\displaystyle d = \frac{a+c}{2}$. Αν $d \geq 1/2$ τότε το τριώνυμο ως προς $b$ μεγιστοποιείται για $b=0$ και έτσι το τριώνυμο ως προς $c$ μεγιστοποιείται για $c=1$...
από dement
Τετ Απρ 24, 2019 4:21 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 637

Re: Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)

Και διαφορετικά: Θα αποδείξουμε το ισχυρότερο $\displaystyle \frac{2x^2+y^2}{3} \leq 1$ (με ΑΜ-ΓΜ παίρνουμε το ζητούμενο $x^2y \leq 1$). Αν $x\leq 1, y \leq 1$ προφανώς ισχύει. Αν $x \geq 1$ τότε, για να ισχύει η υπόθεση, πρέπει να έχουμε $y \leq 1$ και έτσι ισχύουν οι $x^2 \geq x \geq y^2$ μαζί με ...
από dement
Τρί Δεκ 25, 2018 1:04 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Χριστίνα-Χρήστος
Απαντήσεις: 23
Προβολές: 1187

Re: Χριστίνα-Χρήστος

Χρόνια πολλά και καλά στους εορτάζοντες. Ιδιαίτερες ευχές στους Χρήστο Κυριαζή, Χρήστο Τσιφάκη, Χρήστο Ντάβα.
από dement
Κυρ Δεκ 23, 2018 6:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: 10 χρόνια mathematica.gr
Απαντήσεις: 23
Προβολές: 2278

Re: 10 χρόνια mathematica.gr

:logo: Χρόνια πολλά και να τα εκατοστήσουμε! :logo:
από dement
Σάβ Σεπ 29, 2018 12:11 am
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Από Ολοκληρώματα ρίζες
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 896

Re: Από Ολοκληρώματα ρίζες

Υπάρχει κατάλληλο $x_0$ τέτοιο ώστε το $\sin (x + x_0)$ να διατηρεί πρόσημο στο $[0,a]$. Αφού ισχύει $\displaystyle \int_0^a f(x) \sin (x+x_0) \mathrm{d} x = 0$, η $f$ αλλάζει πρόσημο στο $(0,a)$ (αλλιώς το ολοκλήρωμα θα ήταν μη μηδενικό ή η $f$ μηδενική). Έστω ότι η $f$ αλλάζει πρόσημο στο $r \in (...
από dement
Πέμ Σεπ 27, 2018 11:49 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Σειρά pop
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 540

Re: Σειρά pop

Καλό. Μετακινούμαστε από δεξιά προς αριστερά στο δυαδικό. Οι περιττοί αριθμοί έχουν το ψηφίο των μονάδων $1$. Το αντίστοιχο μερικό άθροισμα είναι $\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... = \ln 2$. Οι αριθμοί με υπόλοιπο $2$ ή $3$ ως προς $4$ έχουν το ψηφίο των δυάδων $1$. Το αντ...
από dement
Δευ Σεπ 24, 2018 9:52 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Πιθανώς αποδεδειγμένη η υπόθεση Riemann
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1825

Re: Πιθανώς αποδεδειγμένη η υπόθεση Riemann

Είμαι κάθε άλλο παρά ειδικός στον τομέα, αλλά το preprint μού φαίνεται πολύ περίεργο. - Μία συνάρτηση αναλυτική σε κάθε συμπαγές σύνολο δεν είναι απλώς μια αναλυτική συνάρτηση; - Μία συνάρτηση πολυωνυμική σε κάθε συμπαγές σύνολο δεν είναι απλώς μία πολυωνυμική συνάρτηση; Κσι ούτω καθεξής... Αφήνω τσ...
από dement
Παρ Σεπ 21, 2018 6:42 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 599

Re: Ευχές

Χρόνια πολλά και καλά στον Στάθη Κούτρα.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση