Η αναζήτηση βρήκε 1319 εγγραφές

από dement
Παρ Απρ 20, 2018 11:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 237

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

Δεν είμαι βέβαιος αν η λύση είναι σε επίπεδα Β Λυκείου, αλλά μια και απευθύνεται σε μεγάλους... Ισχύει $\displaystyle \prod_{k=1}^{89} \sin \left( \frac{k \pi}{180} \right) = \prod_{k=1}^{89} \cos \left( \frac{k \pi}{180} \right) = \sqrt{- \prod_{\substack {k=1 \\ k \neq 90}}^{179} \cos \left( \frac...
από dement
Πέμ Απρ 19, 2018 6:42 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σύγκλιση σειράς 106
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 122

Re: Σύγκλιση σειράς 106

Έχουμε (για αρκετά μεγάλα $n$) $\displaystyle \sum_{k=2n}^{2n+1} \frac{(-1)^{k+1} \sqrt{k}}{(-1)^k + \sqrt{k}} \sin \left( \frac{1}{\sqrt{k}} \right) = \left( \sqrt{2n+1} \sin \left( \frac{1}{\sqrt{2n+1}} \right) - \sqrt{2n} \sin \left( \frac{1}{\sqrt{2n}} \right) \right) \frac{1}{\sqrt{2n+1} - 1} +...
από dement
Δευ Απρ 16, 2018 4:14 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Vojtech Jarnik 2018/2 Category I
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 229

Re: Vojtech Jarnik 2018/2 Category I

Αφαιρούμε την τελευταία γραμμή από όλες τις άλλες και έχουμε $D = \begin {vmatrix} 2^2 & 1 & \cdot \cdot \cdot & 1 \\ 1 & 3^2 & \cdot \cdot \cdot & 1 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 1 & 1 & \cdot \cdot \cdot & (p+7)^2 \\ \end {vmatrix} = \begin {vmatrix} 1 \cdot ...
από dement
Σάβ Απρ 14, 2018 1:41 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Vojtech Jarnik 2018/1 Category I
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 118

Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category I

Επικεντρώνουμε στα ακέραια σημεία. Κάθε γραμμή έχει $5$ σημεία και, αφού τα χρώματα είναι $4$, θα υπάρχουν δύο ομόχρωμα σημεία της. Ονομάζουμε αυτό το χρώμα της συγκεκριμένης γραμμής. Υπάρχουν $41$ γραμμές οπότε θα υπάρχουν $11$ ομόχρωμες. Αφού τα ζεύγη σημείων σε κάθε γραμμή είναι $\displaystyle \b...
από dement
Παρ Απρ 13, 2018 8:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μετρικός γεωμετρικός τόπος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 161

Re: Μετρικός γεωμετρικός τόπος

Χρειάζεται λίγη προσοχή, το πρόβλημα δεν προσδιορίζει ότι το M είναι εσωτερικό της γωνίας \angle{A}. Χωρίς αυτόν τον περιορισμό υπάρχουν κι άλλα σημεία.
από dement
Πέμ Απρ 12, 2018 4:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2018/4
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 173

Re: EGMO 2018/4

Ο συμβολισμός $(m,n, \Delta)$ σημαίνει "πλακάκι με το ένα σημείο στο $(m,n)$ και το άλλο δεξιά του". Αντίστοιχα με $K$ σημαίνει "κάτω". Έστω ότι η τιμή κάθε στήλης και γραμμής είναι $k$. Τότε, αφού συνολικά υπάρχουν $2n$ στήλες και γραμμές και κάθε πλακάκι καλύπτει μία από την μία κατηγορία και δύο ...
από dement
Τρί Απρ 10, 2018 2:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Πεδίο Ορισμού
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 222

Re: Πεδίο Ορισμού

Μπορεί να κάνω λάθος, αλλά υποψιάζομαι ότι έχεις μπερδέψει τη συντέμνουσα με τη συνεφαπτομένη. Ισχύει \displaystyle \csc x = \frac{1}{\sin x}.
από dement
Κυρ Απρ 08, 2018 11:31 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Άθροισμα
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 496

Re: Άθροισμα

Καλημέρα και καλό Πάσχα. Χάριν πληρότητας δίνω και μία αλγεβρική λύση. Έχουμε γενικά $\displaystyle \binom{n}{i} \binom{i}{k} = \binom{n}{k} \binom{n-k}{i-k}$. Αφού $k>0$ μπορούμε να ξεκινήσουμε την άθροιση από το $0$. Έτσι, $\displaystyle \sum_{i=0}^n (-1)^i \binom{i}{k} \binom{n}{i} = \binom{n}{k}...
από dement
Κυρ Απρ 08, 2018 7:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Καλό Πάσχα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 138

Re: Καλό Πάσχα

Καλό Πάσχα και χρόνια πολλά σε όλους.
από dement
Κυρ Απρ 08, 2018 12:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Σύνολο αριθμών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 158

Re: Σύνολο αριθμών

Δίνεται το σύνολο $S= \{a^2+a-1,a^3+a^2-1,\ldots ,a^{n+1}+a^n-1,\ldots\}$ όπου $a>1$ είναι θετικός ακέραιος. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα υποσύνολο $M\subseteq S$ με άπειρα στοιχεία, έτσι ώστε κάθε 2 αριθμούς απο το σύνολο $M$ είναι πρώτοι μεταξύ τους. Πηγή: Ρουμανία 1997 Θα αποδείξουμε ότι, για κάθε...
από dement
Πέμ Απρ 05, 2018 6:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μέθοδος Newton
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 302

Μέθοδος Newton

Μια και πιάσαμε τις προσεγγιστικές μεθόδους στην Ανάλυση, ας το δούμε και αυτό. Έστω συνάρτηση $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη με $|f'(x)| \geqslant M > 0$ και $|f''(x)| \leqslant m$ για κάθε $x \in [a,b]$, καθώς επίσης και $f(a) f(b) < 0$. Να αποδειχθεί ότι: 1. Υπάρχει μοναδική ρίζ...
από dement
Πέμ Απρ 05, 2018 3:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ισότητα για ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 163

Re: Ισότητα για ολοκλήρωμα

Ισχύει (από θ. Taylor) $\displaystyle \int_{\frac{2k-1}{2n}}^{\frac{k}{n}} f(x) \mathrm{d}x = \frac{1}{2n} f \left( \frac{2k-1}{2n} \right) + \frac{1}{8n^2} f' \left( \frac{2k-1}{2n} \right) + \frac{1}{48n^3} f'' (\xi_k) \ (\xi_k \in \left( \frac{2k-1}{2n}, \frac{k}{n} \right) )$ καθώς και $\display...
από dement
Τετ Απρ 04, 2018 7:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 192

Re: Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα

Ισχύει $\displaystyle \left| \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) \right| = \left| \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left( f(x) - f\left( \frac{k}{n} \right) \right) \mathrm{d}x \right| \leqslant$ $\displaystyle \leqslant \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1)/n}^...
από dement
Τρί Απρ 03, 2018 10:58 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 399

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

Μπορούμε επίσης να επωφεληθούμε από την κυρτότητα της $e^{x^2}$ και να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του τραπεζίου με διαχωρισμό στα τρία (το φράγμα από την τμηματικά γραμμική συνάρτηση μπορεί να αποδειχθεί σχολικά). Έτσι $\displaystyle \int_0^{\pi/4} e^{x^2} \mathrm{d}x < \frac{\pi}{24} \left( 1 + 2 ...
από dement
Τρί Μαρ 27, 2018 2:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά με ΜΚΔ
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 163

Re: Σειρά με ΜΚΔ

Γράφουμε (από τη γνωστή ιδιότητα της συνάρτησης $\phi$ του Euler) $\displaystyle \gcd(n,2016) = \sum_{d|\gcd(n,2016)} \phi (d)$. Έτσι, η σειρά γίνεται $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\gcd(n,2016)}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \sum_{d|\gcd(n,2016)} \frac{\phi(d)}{n^2} = \sum_{d|2016} \sum_{\substa...
από dement
Τρί Μαρ 27, 2018 10:09 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ένα όριο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 281

Re: Ένα όριο

Ας βάλω και την δική μου... Υποδηλώνω με $S_n (f, [0,1])$ το άθροισμα Riemann της $f$ στο $[0,1]$ με ομοιόμορφη διαμέριση $n$ στοιχείων και με ετικέτες το δεξί άκρο κάθε στοιχείου. Ορίζω την ακολουθία συναρτήσεων $\displaystyle f_n (x) \equiv \mathrm{e}^{- x^2/n} n \sin \left( \frac{x^2}{n} \right)$...
από dement
Δευ Μαρ 19, 2018 1:14 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Λογικά φράγματα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 284

Re: Λογικά φράγματα

Μπορούμε επίσης να εκμεταλλευτούμε την κυρτότητα της 2^x για ένα καλύτερο κάτω φράγμα:

\displaystyle \int_0^\pi 2^{\sin x} \mathrm{d}x \geqslant \pi \cdot 2^{\frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \sin x \mathrm{d}x} = \pi \cdot 2^{2/ \pi} = 4.884...
από dement
Κυρ Μαρ 18, 2018 11:20 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Λογικά φράγματα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 284

Re: Λογικά φράγματα

Αντικαθιστώντας το 2^{\sin x} με \min (2^x, 2, 2^{\pi - x}) παίρνουμε ως άνω φράγμα το \displaystyle \frac{2}{\ln 2} + 2\pi - 4 = 5.168.... Λογικό...;
από dement
Σάβ Μαρ 17, 2018 12:10 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Ασυνεχής
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 184

Re: Ασυνεχής

Αλλιώς, το σύνολο τιμών της είναι υποσύνολο του \mathbb{Q} \cup f(\mathbb{Q}), το πολύ αριθμήσιμο. Έτσι, η εικόνα του διαστήματος [0,1] δεν είναι διάστημα αφού η f δεν είναι σταθερή.
από dement
Τετ Μαρ 14, 2018 3:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά με coth
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 267

Re: Σειρά με coth

Ο παλιός και δοκιμασμένος τρόπος... complex.png Παίρνω $\alpha \neq 0$ (βλέποντας και την τελική απάντηση). Θεωρούμε τη μιγαδική συνάρτηση $f$ με $\displaystyle f(z) = \frac{z \cot(i \pi z) \cot(\pi z)}{z^4 - \alpha^4}$. Αυτή έχει: 1. Aπλούς πόλους στα σημεία $z = n, n \mathrm{i} (n \in \mathbb{Z^*}...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση