Πολύ ωραία λύση Δημήτρη. Τώρα που λύθηκε η άσκηση, θα προσθέσω μια ακόμη λύση: Για κάθε πραγματικό που ανήκει στο σύνολο τιμών, επιλέγουμε ανοικτό διάστημα με ρητά άκρα επί του οποίου η συνάρτηση μας έχει τον πραγματικό αριθμό αυτό σαν τη μέγιστη τιμή της. Η αντιστοίχιση αυτή είναι 1-1 και συνεπώς τ...

Νίκο, η γενική προσέγγιση είναι σωστή αλλά, όπως παρατήρησες κι εσύ, η κατάληξη δεν μπορεί να είναι σωστή γιατί ουσιαστικά έδειξες ότι η συνάρτηση είναι τοπικά σταθερή (και άρα σταθερή λόγω της συνεκτικότητας του πεδίου ορισμού). Αυτό όμως δεν ισχύει γενικά. Για παράδειγμα η συνάρτηση "ακέραιο μέρος...

Αν προυποθέσουμε τη χρήση του θεωρήματος των ολοκληρωτικών υπολοίπων, τότε κάθε ολοκήρωμα επί μιας κλειστής καμπύλης ανάγεται σε άθροισμα ολοκληρωμάτων επί κύκλων που έχουν ως κεντρα τις ανωμαλίες στο εσωτερικό της καμπύλης. Μόλις κάνουμε την αναγωγή αυτή η συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί ως δυναμοσειρ...

Μια απλή διασκεδαστική άσκηση Πραγματικής Ανάλυσης. Ζητώ συγνώμη αν έχει ήδη αναφερθεί.

Αν μια συνάρτηση έχει τοπικό μέγιστο σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε το σύνολο τιμών της είναι αριθμήσιμο.

Όντως Σωτήρη, πολλά λάθη... Η αντίστροφη φορά της ανισότητας που χρησιμοποίησα δε μπαλώνεται με τίποτε - απίστευτη πατάτα!

Πολύ όμορφη άσκηση και λύση Ορέστη. Έχω μια μικρή παρατήρηση που οδηγεί σε μια διαφορετική λύση. Ξεκινάμε με την ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου: $\displaystyle{A+B+C\leq \dfrac{9}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}}}$ και αντικαθιστούμε τους $A,B,C$ με τους τρεις προσθετέους. Μετά από απλοπο...