Αν $F(y)= \displaystyle{\int_{0}^{1}(( y^' )^2 + y^' + 1 ) dx}$ , όταν $y\in C^2([0,1],\mathbb{R})$ ενώ η $y\in C^2([0,1],\mathbb{R})$ λύνει το αντίστοιχο πρόβλημα $\max\limits_{y\in C^2([0,1],\mathbb{R})} F(y)$ τότε να βρεθεί η $y$.

Πώς θα την λύσω · αν έχω τα εξής:
Η $y^'^' +a_1*y^'+a_2*y=0$ (A ...

Για το $\lambda(E + Y)= \lambda(E)$, αν πω ότι :
" Εφόσον από υπόθεση $E\subseteq \mathbb{R}$,(όπου $E\neq {\O}$ ) είναι μετρητό κατά $Lebesgue$ και $Y \in \mathbb{R}$ και $E + Y : = \{ X + Y : X \in E \}$ είναι η << μεταφορά του $E$ κατά $Y$ >> τότε $\lambda(E + Y)= \lambda(E)$ [(Αναλλοίωτο ως ...

Αυτό που έχω σκεφτεί είναι το εξής :
"
Ας είναι $A$ τυχόν,$A \subseteq \mathbb{R}$, [$E^c$ :συμπλήρωμα $= \mathbb{R} - E$], τότε:

$\lambda^*A = \lambda^*(A−y)=\lambda^*((A−y)∩E)+\lambda^*((A−y)∩E^c) =\lambda^*(((A−y)∩E)+y)+\lambda^*(((A−y)∩E^c)+y) = \lambda^*(A∩(E+y))+ \lambda^*(A∩(E^c+y))=\lambda ...

Γνωρίζει κάποιος πως αποδεικνύεται η παρακάτω,
" Δείξατε ότι αν $E\subseteq \mathbb{R}$,(όπου $E\neq {\O}$ ) είναι μετρητό κατά $Lebesgue$ και $Y \in \mathbb{R}$ , τότε $E + Y : = \{ X + Y : X \in E \}$ είναι μετρητό κατά $Lebesgue$ και $\lambda(E + Y)= \lambda(E)$ "
Η άσκηση είναι από το βιβλίο ...

Συμβουλές γι'αυτή τη λύση ....
"
Έστω τυχόν σημείο $a\in E_1$ και $(x_n)_n_\in _\mathbb{N}$ ακολουθία του $E_1$ με ${\lim_{n\in \mathbb{N}}x_n=a$. Τότε το σύνολο $S = \{x_n | n\in \mathbb{N} \} \bigcup \{a\}$
είναι συμπαγές αφού κάθε συγκλίνουσα ακολουθία του $S$ έχει όριο στοιχείο του $S$.
Από την ...

Παραθέτω μια λύση,
θα χρειαστώ τις συμβουλές σας ....
Χρησιμοποιώντας κάποιες αποδείξεις,ορισμούς κτλ , κατέληξα στα εξής :
" Ας είναι $E_1$ ,$E_2$ μετρικοί χώροι και $f:E_1\to E_2$ μια συνάρτηση τότε :
Αν $A_i$ , $i\in I$ είναι μια πεπερασμένη οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του $E_1$ τέτοια ...

Καλησπέρα σε όλους !
Καταρχήν θα ήθελα να σας ευχαριστήσω για τις οδηγίες-υποδείξεις σας, άπλα ακολουθώντας την τυπικότητα του βιβλίου του Dieudonneé πρέπει και θα ήθελα κι εγώ ο ίδιος να λύσω την άσκηση χρησιμοποιώντας τον ορισμό του Heine [3.13.14 ορισμός σελίδες 51-52 από το βιβλίο] (θα κάνω τη ...

Έστω $E,\;E'$ μετρικοί χώροι και $f:E\longrightarrow E'$ μια απεικόνιση με την εξής ιδιότητα: Ο περιορισμός της $f\,|\,A$ σε κάθε συμπαγές υποσύνολο $A\in E$ να είναι συνεχής συνάρτηση. Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι συνεχής στο $E$.

Η άσκηση είναι από το βιβλίο του Dieudonneé Foundations of Modern ...

Θεώρημα οριζουσών του Sylvester :
Για την περίπτωση ενός διανύσματος-στήλης c και ενός διανύσματος-γραμμής r, το καθένα με m στοιχεία, ο τύπος επιτρέπει τον γρήγορο υπολογισμό της ορίζουσας του πίνακα που διαφέρει από τον μοναδιαίο πίνακα κατά ένα πίνακα τάξης 1:
$det(I+c*r) =1+r*c$

[link:https ...

Καλησπέρα , είναι ο συλλογισμός που χρησιμοποιώ, για την απόδειξη του παρακάτω , σωστός , κι αν όχι, πως αποδεικνύεται ...;
-Ας είναι $x, y$ $nx1$ διανύσματα και $I$ μοναδιαίος $nxn$ πίνακας ,
δείξτε ότι :
$det(I+x*y') =1+x'*y$
(υπ:det=ορίζουσα)

Λύση:
Η ορίζουσα ενός ανάστροφου πινάκα είναι ίση ...