ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Το πρόβλημα 2 είναι

Να βρεθούν όλες οι

που ικανοποιούν την

Κάποιες λύσεις για το 2 υπάρχουν εδώ https://artofproblemsolving.com/communi ... _problem_2

A4: Οι μη-αρνητικοί πραγματικοί $x,y,z$ είναι τέτοιοι ώστε $x^2+y^2+z^2=x+y+z$. Να δείξετε ότι
$\displaystyle\frac{x+1}{\sqrt{x^5+x+1}}+\frac{y+1}{\sqrt{y^5+y+1}}+\frac{z+1}{\sqrt{z^5+z+1}}\geq 3.$


Η λύση μου είναι ουσιαστικά ίδια με αυτήν του Γιάννη, απλά την αφήνω αφού έχει περισσότερες ...

A5: Οι θετικοί πραγματικοί $x,y,z$ είναι τέτοιοι ώστε $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$. Να δείξετε ότι
$\displaystyle x+y+z\geq\sqrt{\frac{xy+1}{2}}+\sqrt{\frac{yz+1}{2}}+\sqrt{\frac{zx+1}{2}}.$

Θέτουμε $xy=c, yz=a$ και $zx=b$.
Τότε η συνθήκη γίνεται $a+b+c=ab+bc+ca$ και η ...

Datis-Kalali έγραψε:
Προβλήμα 2
Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί , να δείξετε ότι

Το 2 ήταν και εδώ
https://artofproblemsolving.com/community/c6h247723

Το πρόβλημα 2 ήταν εδώ
https://artofproblemsolving.com/communi ... 513p815736
Η λύση βέβαια δεν είναι καθόλου κομψή.

Η Διοφαντική έχει ως λύσεις και τις οι οποίες φυσικά δεν επαληθεύουν την αρχική.

Διαγώνισμα 8 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors



Πρόβλημα 2
Αν $a,b,c,d$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a+b+c+d=4$, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\frac{a}{b^3+4}+\frac{b}{c^3+4}+\frac{c}{d^3+4}+\frac{d}{a^3+4}.}$

Πότε πιάνεται;




USAMO ...

mikemoke έγραψε:, θετικοί ακέραιοι Αν διαιρει το να δειξετε οτι ειναι το τετραγωνο ακεραιου

Πρόβλημα 6 στην IMO 1988. Αποδεικνύεται εύκολα με

Ανεβάζω 2 ασκήσεις που προτάθηκαν στο μάθημα της ΕΜΕ του προηγούμενου Σαββάτου για εξάσκηση για τον Αρχιμήδη.(Έχω λύση μονο για την 1η καθώς δεν έχω προσπαθήσει την 2η)

Άσκηση 26 Seniors
Να αποδειχθεί ότι η παρακάτω ανισότητα ισχύει για κάθε χ θετικό πραγματικό αριθμό:
$\frac{2017}{(x+1)(x+4034 ...

Άσκηση 25 Seniors
Αν $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί να δειχθεί ότι

$\displaystyle\sum_{cyc}\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq1$
Αρχικά παρατηρούμε ότι η δοθείσα σχέση δεν βολεύει αρκετά. Θα προσπαθήσουμε να βρούμε μία ισοδύναμη σχέση
που πρέπει να αποδειχθεί, η οποία θα αποδεικνύεται με $C-S$.
Όμως ...

Καλύτερα όπως λέει και ο Γιάννης να την αφήσουμε για ακόμα λίγο καιρό.

Πάντως με υπάρχει πολύ ωραία λύση και κυρίως αποφεύγεις τις πολλές και βαρετές πράξεις.

Άσκηση 25 Seniors
Αν $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί να δειχθεί ότι

$\displaystyle\sum_{cyc}\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq1$

Η ανισότητα κάνοντας τα κλάσματα ομώνυμα και εκτελώντας έναν πολύ μεγάλο βαρετό όγκο πράξεων γίνεται (νομίζω :roll: ):

$a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2 \geq ab^2c^3+bc^2a^3+ca^2b^3$

Όμως ...

Άσκηση 25 Seniors
Αν θετικοί πραγματικοί να δειχθεί ότι

Άσκηση 24 Seniors
Αν θετικοί πραγματικοί τέτοιοι ώστε ο παρονομαστής κάθε κλάσματος να είναι θετικός, να δειχθεί ότι:

Άσκηση 22 Seniors
Αν $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα $3$ να δειχθεί ότι:
$\displaystyle{\frac{{2{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4 - bc}} + \frac{{{a^2} + 2{b^2} + {c^2}}}{{4 - ca}} + \frac{{{a^2} + {b^2} + 2{c^2}}}{{4 - ab}} \ge 4}$
Πότε ισχύει η ισότητα;
Από $C-S$ έχουμε
$\displaystyle ...