mathematica.gr

Chatzibill

Έστω η συνάρτηση $g(x)=\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{t^2+1}dt$
$f(x)=(1+x^2)(1+\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{1+t^2}dt)\Rightarrow \frac{f(x)}{1+x^2}=1+\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{1+t^2}dt\Rightarrow g'(x)=1+g(x)\Rightarrow (e^{-x}g(x))'=(-e^{-x})'\Rightarrow e^{-x}g(x)=-e^{-x}+c\Rightarrow g(x)=-1+ce^{x ...

Chatzibill

Αρκεί να δείξουμε πως η συνάρτηση $f(x)=(\frac{sinx}{x})^2-1+\frac{x^2}{3}-\frac{x^4}{36} , 0<|x|<\frac{\pi }{2}$ είναι θετική .
Η συνάρτηση είναι άρτια άρα μας αρκεί να δουλέψουμε μόνο στα θετικά.
$f(x)>0 \Rightarrow (\frac{sinx}{x})^2>1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{36} \Rightarrow (\frac{sinx}{x ...

Chatzibill

Αρκεί να δείξουμε πως η συνάρτηση $f(x)=(\frac{sinx}{x})^2-1+\frac{x^2}{3}-\frac{x^4}{36} , 0<|x|<\frac{\pi }{2}$ είναι θετική .
Η συνάρτηση είναι άρτια άρα μας αρκεί να δουλέψουμε μόνο στα θετικά.
$f(x)>0 \Rightarrow (\frac{sinx}{x})^2>1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{36} \Rightarrow (\frac{sinx}{x})^2 ...

Chatzibill

$\int_{0}^{x}t^2f^2(t)-2(e^t-1)tf(t)+(e^t-1)^2dt=0 \Rightarrow \int_{0}^{x}(e^t-1-tf(t))^2dt=0$ $\Rightarrow e^t-1-tf(t)=0 \Rightarrow f(t)=\frac{e^t-1}{t} ,t\neq 0$
Λόγω συνέχειας $f(0)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^t-1}{t}=1$

Όσον αφορά το σημείο της απάντησης : $\int_{0}^{x}(e^t-1-tf(t))^2dt ...

Chatzibill

Βρείτε την παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}^*$ συνάρτηση $f$ , για την οποία ισχύουν :

$f'(x)x^2-f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}^* $ και $f(1)=\dfrac{1}{e} , f(-1)=e$ .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ : Είναι : $\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{1}{x^2} $ , συνεπώς : $(ln(f(x)))'=(-\dfrac{1}{x})'$ , άρα

$f(x)=\left\{\begin ...

Chatzibill

$\int_{0}^{x}t^2f^2(t)-2(e^t-1)tf(t)+(e^t-1)^2dt=0 \Rightarrow \int_{0}^{x}(e^t-1-tf(t))^2dt=0$ $\Rightarrow e^t-1-tf(t)=0 \Rightarrow f(t)=\frac{e^t-1}{t} ,t\neq 0$
Λόγω συνέχειας $f(0)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^t-1}{t}=1$

Chatzibill

Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:R \to R$ με $\displaystyle f(0) = f(2) = 0$.
Βρείτε το $\displaystyle a \in R$ ώστε να υπάρχει $\displaystyle c \in (0,2)$ με $\displaystyle f''(c) = 2af(1)$ .

Ίσως χάνω κάτι.

Αν $f(1)=0$ τότε (απλό με διπλό Rolle) υπάρχει $c$ με ...

Chatzibill

Να βρείτε όλους τους φυσικούς ακέραιους που είναι λύσεις της εξίσωσης $2^{x}3^y +5^k= 7^t$

Chatzibill

Πόσες συναρτήσεις επαληθεύουν την σχέση : $f^2(x)=x^2 , x\in \mathbb{R}$
i) αν η συνάρτηση δεν είναι συνεχής
ii) αν η συνάρτηση είναι συνεχής

Chatzibill

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Ιαν 27, 2019 10:33 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Ιαν 27, 2019 5:57 pm Τι άλλ' θα δουμ' , δεν ξέρ.
Μιχάλη, απαντάω χιουμοριστικά. Το παραπάνω στη τοπική διάλεκτο εδώ στα Φάρσαλα , στέκει!!

Chatzibill

apotin έγραψε: Πέμ Ιαν 24, 2019 9:01 pm Κάπως έτσι υποβιβάζουμε το μάθημα και το κάνουμε "γρίφοι καφενείου", οι επιπτώσεις φαίνονται στη μείωση μαθητών στα μαθηματικά.

συμφωνώ απολύτως, ετσι ομως όπως έχει καταντήσει η εξέταση στο τέλος της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης θα έλεγα πως πρέπει να κάνουμε τα στραβά μάτια

Chatzibill

grigkost έγραψε: Πέμ Ιαν 24, 2019 2:34 pm
M.S.Vovos έγραψε: Πέμ Ιαν 24, 2019 2:27 pm Προφανώς λάθος. Η παραγωγός σταθερής συνάρτησης ισούται πάντα με μηδέν.
...και το $\cos(\frac{\pi }{2})$ με ισούται! Η διαφορά είναι αλλού...

Chatzibill

Να χαρακτηριστεί ως σωστή ή λανθασμένη η πρόταση ${(sin(\frac{\pi }{2}))}'=cos(\frac{\pi }{2})$

Chatzibill

Δεν είμαι σίγουρος πως την έχω βάλει στον σωστό φάκελο

Chatzibill

Έστω $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} : g(x+y)=g(x)+g(y) , x,y\in \mathbb{R}$
Να αποδειχτεί πως $g(rx)=rg(x) , r\in \mathbb{Q}$

Chatzibill

Να βρεθεί συνεχής συνάρτηση, τέτοια ώστε $f(x)=(1+x^2)\int_{0}^{x}\frac{f(x)}{1+t^2}dx , f:\mathbb{R}\rightarrow (0,+\propto )$

Δεν έχω δυσκολία να την λύσω αλλά για την ώρα γράφω για να επισημάνω ότι η εκφώνηση είναι προβληματική. Μπλέκει την μεταβλητή ολοκλήρωσης με την ανεξάρτητη μεταβλητή ...

Chatzibill

Να βρεθεί συνεχής συνάρτηση, τέτοια ώστε $f(x)=(1+x^2)\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{1+t^2}dt , f:\mathbb{R}\rightarrow (0,+\propto )$

Chatzibill

Να βρεθεί το άθροισμα της σειράς $\displaystyle 1+\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a(a+1)\cdots (a+n)}{(b+1)(b+2)\cdots(b+n+1)}$ με $a,b\in \mathbb{R}, 0<a<b$

Chatzibill

Ένας κατασκευαστής παράγει $1200$ υπολογιστές την εβδομάδα. Μετά την πρώτη εβδομάδα, αυξάνει τη παραγωγή του κατά $5\%$ κάθε εβδομάδα.
Ι) Να βρεθεί η παραγωγή την εικοστή εβδομάδα
ΙΙ) Να βρεθεί η συνολική παραγωγή των $20$ πρώτων εβδομάδων
ΙΙΙ) Πότε η παραγωγή θα ξεπεράσει για πρώτη φορά τους $8000 ...

Chatzibill

Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας $a_{n}=\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$

Ας το δούμε και αλλιώς.

Γνωρίζουμε ότι αν για μία ακολουθία $b_n>0$ ισχύει $\displaystyle{\dfrac {b_{n+1}}{b_n} \to b}$, τότε και $\displaystyle{\sqrt [n]{b_n} \to b}$. Για την $\displaystyle{b_n=\dfrac {n!}{n^n}}$ έχουμε ...

Η αναζήτηση βρήκε 33 εγγραφές

Re: Ολοκληρωτική εξίσωση

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Εύρεση τύπου

Re: Έχει ουσιαστικά λάθη ;

Re: Εύρεση τύπου

Re: Ύπαρξη

Θετικοί ακέραιοι

Συνάρτηση

Re: πρωτοι ριθμοι

Re: Σωστό-Λάθος

Re: Σωστό-Λάθος

Σωστό-Λάθος

Re: r ρητός

r ρητός

Re: εύρεση συνάρτησης

εύρεση συνάρτησης

Άθροισμα σειράς

υπολογισμός

Re: Όριο ακολουθίας