Καλή χρονιά στο :santalogo: !

Λίγη θεωρία πρώτα, που δεν νομίζω ότι είναι τόσο γνωστή για να παραλειφθεί.
Αν έχουμε δύο κύκλους $\gamma$ και $\omega$ και $X$ σημείο του επιπέδου, τότε η συνάρτηση $f(X) = pow(X, \gamma) - pow(X, \omega)$ είναι γραμμική, όπου $pow(X, c) = XO^2 - R^2$ η δύναμη ...

Θα επιρρίψω την καθυστέρησή μου στα ζόρια της Γ Λυκείου.
Είναι μάλλον πανομοιότυπη με αυτήν του Ορέστη και απολογούμαι για την υπόσχεση που δεν τήρησα.

Μήπως είναι η απάντηση 146250;
Αν γνωρίζει κάποιος, ας με επιβεβαιώσει και θα προσπαθήσω να βάλω λύση το συντομότερο.

Καλημέρα!

Στα γρήγορα,

Έστω ένα σημείο $P$ στην περιφέρεια και το αντιδιαμετρικό του $P'$ τέτοιο ώστε $P,P'\neq A_i$.

Τότε από την τριγωνική ανισότητα, $PA_i+P'A_i \geq 2\rho$, με ισότητα ανν $A_i\in PP'$.
Άρα,
$\displaystyle{\sum_{i=1}^n PA_i + \sum_{i=1}^n P'A_i \geq 2\rho n}$

Άρα για κάποιο ...

Αν $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί να αποδειχθεί ότι:


$\displaystyle \frac{a(a^3+b^3)}{a^2+ab+b^2}+\frac{b(b^3+c^3)}{b^2+bc+c^2}+\frac{c(c^3+a^3)}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}$


Αφαιρώντας και από τα δύο μέλη $a^2+b^2+c^2$, γράφουμε την ανισότητα:

$\displaystyle{\sum_{\text ...

stamas1 έγραψε: Τρί Ιουν 30, 2020 8:07 pm Μπορεί κάποιος να γράψει την απόδειξη οτι η F(x) ειναι 1-1 και επι?

Επί:
Σταθεροποιώντας το το διατρέχει όλο το για τις διάφορες τιμές του .

1-1:
Βάλε και θα το δεις μόνος σου.

Χάνω κάτι;
Από Holder:

$\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_ib_ic_i \leq \sum_{i=1}^n |a_ib_ic_i|\leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)^{\frac{1}{4}}\left(\sum_{i=1}^n b_i^2c_i^4\right)^{\frac{1}{4}} = K_1^{\frac{1}{2}}K_2^{\frac{1}{4}}K_3^{\frac{1}{4 ...

Μια λύση με μιγαδικούς σχετικά καθαρή.

Έστω $P$ μέσο του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα το ορθόκεντρο $H$ και το κέντρο του κύκλου Euler $N$, και $K$,$L$,$M$ τα μέσα των $BC$,$CA$,$AB$ αντίστοιχα.
Θα δείξουμε ότι το $P$ είναι το ζητούμενο ριζικό κέντρο.
Αρκεί νδο
$\displaystyle{|PA^2-AK^2|=|PB^2-BL^2 ...

ΘΕΜΑ 3
Οι θετικοί ακέραιοι $a, b$ και $c$ είναι τέτοιοι ώστε $a^{b+c} = b^c c.$
Να δείξετε ότι ο $b$ διαιρεί τον $c$ και ότι ο $c$ είναι της μορφής $d^b,$ για κάποιον θετικό ακέραιο $d.$



Λίγο πιο γρήγορα μαζί με το δεύτερο ερώτημα.

Έστω $p$ πρώτος που διαιρεί τον $a$. Για συντομία $\nu_p ...

ΘΕΜΑ 3
Η Άννα και η Βασιλική παίζουν το παρακάτω παιχνίδι:
Στο τραπέζι υπάρχουν $n$ κέρματα και οι δύο φίλες παίρνουν εναλλάξ κάποια από αυτά.
Μπορούν να πάρουν το πολύ $\displaystyle{\frac{m}{2} + 1}$ κέρματα κάθε φορά, όπου $m$ το πλήθος των κερμάτων που υπάρχουν τότε στο τραπέζι, αλλά ...

ΘΕΜΑ 1
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη $(n,p)$ θετικών ακεραίων, όπου $p$ πρώτος, τα οποία ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{p(p-1)=2(n^3+1).}$


Για $p=2$ προφανώς δεν έχει λύση.
Όποτε για περιττούς πρώτους, η δοθείσα γράφεται:
$\displaystyle{2n^3=p^2-p-2<p^2<2p^3\implies p\geq n+1 ...

ΘΕΜΑ 2
Να δείξετε ότι

$\displaystyle{ \frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\ge-\frac{1}{2}, }$

για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x,y,z$ με $x+y+z = xy+yz+zx .$
(Από εδώ: https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=111&t=34612)



Ίσως όχι και η καλύτερη απόδειξη, αλλά ...

ΘΕΜΑ 4
Έστω $n$ θετικός ακέραιος. Να δείξετε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος k τέτοιος ώστε ο αριθμός $\displaystyle{51^k − 17}$ να διαιρείται με τον $\displaystyle{2^n.}$

Θα το δείξω επαγωγικά:
Για $n=1,2$ προφανώς ισχύει το ζητούμενο

Έστω για κάποιο $n$ υπάρχει $k$ τέτοιο ώστε: $\nu_2(51^k-17 ...

Για το θέμα 2, εδώ https://artofproblemsolving.com/communi ... lity_lemma

ΘΕΜΑ 4
Στην τελευταία Μαθηματική Ολυμπιάδα συμμετείχαν 300 μαθητές. Παρατηρήθηκε ότι ανάμεσα σε 3 οποιουσδήποτε μαθητές, υπήρχαν δύο που δεν γνωρίζονταν μεταξύ τους. Έστω $x_i$ το πλήθος των γνωστών του $i$- στού μαθητή.
Αν $\{x_1, x_2, . . . , x_{299}, x_{300}\} = \{1, 2, . . . , N − 1, N\}$, να ...

Καλημέρα,
διατηρώ μια μικρή επιφύλαξη για την ορθότητα της παρακάτω λύσης.

Έστω $T=I_bI_c\cap BC,\,S_1=IK\cap I_bI_c,\,S_2=AD\cap I_bI_c,\, \omega_b,\, \omega_c$ οι εγγεγραμμένοι κύκλοι των $ABD,\, ACD$ και $r_b,\, r_c$ οι ακτίνες τους αντίστοιχα.
Θα δείξω ότι $S_1=S_2$

Από γνωστό λήμμα στο πλήρες ...

Ορίζω
.
Θεωρώ αντιστροφή πόλου δύναμης .
Τότε .
Άρα ισχύει
.

Edit: Διορθώθηκε τυπογραφικό.

Μια γρήγορη:

Έστω $T$ το αντιδιαμετρικό του $M$ στον $(ABC)$.
Τότε λόγω των παραλληλιών είναι:
$\displaystyle{\angle ATO= \angle ATM=\angle ACM=\angle ALO}$
και
$\displaystyle{\angle AKO=\angle ABM=\pi-\angle ACM}$
Άρα, $ATLOK$ εγγράψιμο.
Τότε (από spiral similarity ας πούμε) $KTL$ ισοσκελές με $TK ...

Και μία ακόμη λύση.

Έστω $I$ το έγκεντρο του $ABC$ και $M,N$ τα μέσα των τόξων $AC, AB$ αντίστοιχα.

Από το θεώρημα Pascal στο (εκφυλισμένο) $ABMNCA$ προκύπτει ότι τα $M,N,P$ είναι συνευθειακά.

Είναι γνωστό ότι $MA=MI=MC$ και $NA=NI=NB$, άρα η $MN$ είναι μεσοκάθετος της $AI$ και επομένως $BC=PA=PI ...

Για $x=0$ λαμβάνουμε $f(0)+2f(y)=f(f(y)) \quad (1)$
και για $y=0$ παίρνουμε $f(2x)+2f(0)=f(f(x))$.
Τότε από την $(1)$ προκύπτει $f(2x)=2f(x)-f(0)\quad (2)$

Από τις σχέσεις $(1), (2)$ η αρχική γίνεται
$\displaystyle{2f(x)-f(0)+2f(y)=f(0)+2f(x+y)\implies f(x)+f(y)=f(x+y)+f(0) \quad (3)}$

Έστω $g(x ...