Η αναζήτηση βρήκε 39 εγγραφές

από christinat
Πέμ Νοέμ 28, 2019 12:06 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο παράστασης
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 331

Re: Μέγιστο παράστασης

Από ανισότητα $Holder$: $S\leq (ab+bc+ca)^{\frac{1}{3}}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^{\frac{2}{3}}$ ή $S\leq \sqrt[3]{(ab+bc+ca)(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}+\sqrt{b+a})^{2}}$(1) Έστω $A=(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+a}+\sqrt{a+b})^{2}$ τοτε $A=2(a+b+c)+2\sqrt{(a+c)(b+a)}+2\sqrt{(a+c)(b+c)}+2\sqrt{(b+c)(c+a)}$ ...
από christinat
Τετ Νοέμ 27, 2019 11:24 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο παράστασης
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 331

Re: Μέγιστο παράστασης

Από ανισότητα Holder:

S\leq (ab+bc+ca)^{\frac{1}{3}}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^{\frac{2}{3}} ή

S\leq \sqrt[3]{(ab+bc+ca)(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}+\sqrt{b+a})^{2}}(1)

Έστω A=(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+a}+\sqrt{a+b})^{2}

τοτε

Από ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου:
από christinat
Τρί Νοέμ 19, 2019 11:18 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολλαπλάσιο του 7
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 249

Re: Πολλαπλάσιο του 7

Έστω $A=abc(a^{3}-b^{3})(b^{3}-c^{3})(c^{3}-a^{3})$ Αν κάποιος από τους a,b,c διαιρείται με το $7$ τοτε προφανώς $7|A$ Αν όμως ισχύει ότι $(a,7)=1$ και $(b,7)=1$ και $(c,7)=1$ τοτε από μικρό θεώρημα του $Fermat$ προκύπτει ότι $a^{6}\equiv 1(mod7)\Rightarrow a^{3}\equiv \pm 1(mod7)$ $b^{6}\equiv 1(mo...
από christinat
Παρ Σεπ 06, 2019 12:25 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/2/4
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 556

Re: IMC 2018/2/4

Έστω δυο πολυωνυμα $P,Q\in \mathbb{C}$ Αν τα πολυώνυμα αυτά είναι μονικά τέτοια ώστε $P*Q|P^{2}+Q^{2}+1$ τοτε $degP=degQ$(1) Απόδειξη: Εστω ότι υπάρχουν ζεύγη πολυωνυμων $(P_{i },Q_{i })$ με $degP_{i }\neq degQ_{i }$(2) Υποθέτουμε ότι υπάρχει ζεύγος τέτοιων πολυωνυμων $(P,Q)$ με $degP+degQ<degP_{i }...
από christinat
Πέμ Αύγ 29, 2019 10:00 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μοναδική λύση
Απαντήσεις: 23
Προβολές: 1741

Re: Μοναδική λύση

$x^{2}-4x+7-ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=0$ Για να έχει η εξίσωση μοναδική ρίζα πρέπει: $D=0\Rightarrow -12+4ln(\frac{ax}{x^{2}+4})=0\Rightarrow ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=3\Rightarrow e^{3}=\frac{ax }{x^{2}+4} \Rightarrow e^{3}x^{2}-ax +4e^{3}=0$(1) Πρέπει $D_{1}=0\Rightarrow a^{2}-16e^{6}=0\Rightarrow a=...
από christinat
Πέμ Αύγ 29, 2019 12:46 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μοναδική λύση
Απαντήσεις: 23
Προβολές: 1741

Re: Μοναδική λύση

$x^{2}-4x+7-ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=0$ Για να έχει η εξίσωση μοναδική ρίζα πρέπει: $D=0\Rightarrow -12+4ln(\frac{ax}{x^{2}+4})=0\Rightarrow ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=3\Rightarrow e^{3}=\frac{ax }{x^{2}+4} \Rightarrow e^{3}x^{2}-ax +4e^{3}=0$(1) Πρέπει $D_{1}=0\Rightarrow a^{2}-16e^{6}=0\Rightarrow a=\...
από christinat
Τρί Αύγ 27, 2019 12:03 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διαιρετότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 489

Re: Διαιρετότητα

Θα δείξουμε ότι οι μοναδικές τιμές που μπορεί να πάρει το $m$ είναι $m=0$ ή $m=1$ ή $m=2$ $(2^{2m+1})^{2}+1=(2^{2m+1}+2^{m+1}+1)(2^{2m+1}-2^{m+1}+1)$ Οι δυο αυτοί παράγοντες είναι περιττοί και η διαφορά τους είναι $2^{m+2}$ Οποτε είναι μεταξύ τους πρώτοι Ισχύει ακόμη ότι $(2^{2m+1})^{2}=4^{2m+1}\equ...
από christinat
Πέμ Ιούλ 18, 2019 3:38 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 5147

Re: IMO 2019

Αν $x=0$ από την συναρτησιακη είναι: $f(f(0))=3f(0)$(1) Αν $y=0$ τοτε $f(2x)+2f(0)=f(f(x))$(2) Αν $x=0$ $f(0)=f(f(y))-2f(y)$ Με αλλαγή μεταβλητής η παραπάνω σχεση γίνεται $f(0)=f(f(x))-2f(x)$(3) Θέτοντας στην σχεση (3) όπου $f(x)=z$ προκύπτει ότι $f(0)=f(z)-2z$ Οποτε $f(x)=2x+f(0)$,για κάθε ακέραιο ...
από christinat
Δευ Ιούλ 01, 2019 1:46 pm
Δ. Συζήτηση: Εξετάσεις Προτύπων και Πειραματικών Σχολείων
Θέμα: Εξετάσεις πρότυπα γυμνάσια 2019
Απαντήσεις: 44
Προβολές: 3517

Re: Εξετάσεις πρότυπα γυμνάσια 2019

petrosqw, σκέψου και αυτό, τα παιδιά που τερμάτισαν με μισό πόντο διαφορά και δεν μπήκαν αν έμπαιναν δεν θα έμπαιναν με την αξία τους; ή και τα άλλα που είναι μερικούς πόντους πιο χαμηλά; ή ακόμα και εκείνα που κουράστηκαν ή μπλοκάρισαν ενώ είχαν τα φόντα ας πούμε; Είναι μεγάλη συζήτηση αυτή… Στη σ...
από christinat
Τετ Ιουν 26, 2019 7:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Κορυφές τετραγώνου
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 570

Re: Κορυφές τετραγώνου

Καλημέρα Γιώργο, καλημέρα “christinat” - Χριστίνα (;). Η άσκηση είναι σχεδόν το Δ θέμα από τις φετινές προαγωγικές του σχολείου μου - δεν ζητούσαμε την εύρεση της ευθείας που χωρίζει το τετράγωνο σε ισοδύναμα σχήματα. Το πιο δύσκολο ερώτημα ήταν ο προσδιορισμός των δύο άλλων κορυφών του τετραγώνου....
από christinat
Τετ Ιουν 26, 2019 12:26 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Προετοιμασία για seemous
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 571

Re: Προετοιμασία για seemous

Αν $0<i<p$ τοτε $\binom{p}{i }=\frac{p!}{i!(p-i)!}$ Ισχύει ότι $p\mid p!$ Επίσης οι παράγοντες στον παρονομαστή είναι μικρότεροι του $p$ Οποτε $\binom{p}{i }\equiv 0$ $mod p$ Άρα $(1+x)^{p}\equiv 1+x^{p}$ $mod p$(1) Εφαρμόζοντας την σχεση (1) t φορές προκύπτει ότι $(1+x)^{p^{t}}\equiv 1+x^{p^{t}}$ $...
από christinat
Τρί Ιουν 25, 2019 1:21 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Κορυφές τετραγώνου
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 570

Re: Κορυφές τετραγώνου

$\vec{AB}*\vec{BC}=0\Rightarrow (x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{B},y_{C}-y_{B})=0\Rightarrow (x_{B}+2,y_{B}-3)(4-x_{B},-1-y_{B})=0\Rightarrow x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-2x_{B}-2y_{B}-11=0$(1) $\left | \vec{AB} \right |=\left | \vec{BC} \right |\Rightarrow \sqrt{(x_{B}+2)^{2}+(y_{B}-3)^{2}}=\sqrt{(4-x_{B...
από christinat
Τετ Ιουν 05, 2019 5:15 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2017
Απαντήσεις: 78
Προβολές: 11587

Re: Αρχιμήδης 2017

Καποια άλλη λυση για το πρόβλημα 4; $i)P(y)-2017=0\Rightarrow a_{n}y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+...+a_{1}y+(a_{0}-2017)=0$ Έστω $Q(x)=x^{2}+x-4$ Η θετική ρίζα της εξίσωσης $Q(x)=0$ είναι η $y=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$,άρρητος $P(x)-2017=Q(x)R(x)+U(x)$(1) Επειδή το $Q(x)$ είναι δευτεροβάθμιο πολυωνυμο θα ισχύ...
από christinat
Παρ Μάιος 31, 2019 12:48 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 10035

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Μπορεί κάποιος να ανεβασει μια ακόμα λυση για το πρόβλημα 3 του Αρχιμηδη των μεγάλων; Έστω $x=\frac{p}{q}$ και $y=\frac{k}{l}$,όπου $p,q,k,l\in \mathbb{N}$$(\neq 0)$ $y*x^{y}=y+1\Rightarrow \frac{k}{l}*\left ( \frac{p}{q} \right )^{\frac{k}{l}}=\frac{k+l}{l}\Rightarrow \left ( \frac{p}{q} \right )^...
από christinat
Δευ Μάιος 27, 2019 6:40 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 486

Re: Συναρτησιακή

Αν $y=0$:$f(0)=0$ Αν $x=0$:$f(f(y))=y^{2}$ Αν $x=-f(y)$ τοτε $-f(f(y))=f(-f(y))$ Από την τελευταία σχεση προκύπτει ότι $f(ty)=yf(t)$,όπου $t=-1$ και y πραγματικός αριθμός Θέτοντας $f(-1)=a$ παίρνουμε ότι $f(y)=ay $ για κάθε πραγματική τιμή του $y$ Επίσης $f(f(y))=y^{2}=a(f(ay ))=a^{2}y$(1) $f(f(y))=...
από christinat
Δευ Μάιος 27, 2019 12:37 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Παγκόσμιο ρεκόρ Μαθηματικών
Απαντήσεις: 57
Προβολές: 7533

Re: Παγκόσμιο ρεκόρ Μαθηματικών

Πέτρο πραγματικά εχεις απόλυτο δίκαιο Πόσοι μαθηματικοί εδώ στην Ελλάδα έχουν μείνει άνεργοι ή είναι χαμηλόμισθοι Αναφέρθηκε ότι και στην Αμερική έχουν στενέψει αρκετά τα πράγματα ακόμα και για κατόχους διδακτορικού μαθηματικών Όντως...οι επιχειρήσεις πρώτα θα αναζητήσουν Οικονομολόγο,προγραμματιστή...
από christinat
Πέμ Μάιος 23, 2019 5:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Λήμμα με Miquel
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1026

Re: Λήμμα με Miquel

min## έγραψε:
Πέμ Μάιος 23, 2019 12:58 pm
Επαναφορά για όποιον έχει χρόνο :lol:
Το S δεν είναι το σημείο Miquel τουA'C'X_{A}X_{C}X_{B}B';
από christinat
Πέμ Μάιος 09, 2019 4:07 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 2702

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1

Έστω $a,b,c\neq 0$ $9^{b}=c^{3}-2^{a}\Rightarrow c^{3}\equiv 2^{a }\equiv \pm 1(mod 9)$ $(2,c)=1$ $(3,c)=1$ Από μικρο θεώρημα Fermat: $c\equiv 1(mod 2)\Rightarrow c^{3}\equiv 1(mod2)$ Όποτε $c^{3}\equiv -1(mod 9)\Rightarrow 2^{a}\equiv -1(mod 9)$ Ισχύει ότι $2^{3}\equiv -1(mod 9)$ $2^{3d }\equiv -1(...
από christinat
Δευ Μάιος 06, 2019 6:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Προετοιμασία για Αρχιμήδη
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 480

Re: Προετοιμασία για Αρχιμήδη

Ας προτείνει κάποιος ασκήσεις για αρχιμηδη(seniors) γιατί μερικοί από εμάς προετοιμαζόμαστε
από christinat
Σάβ Μάιος 04, 2019 11:24 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Άσκηση στην Έλλειψη(Κέντρα κύκλων που εφάπτονται σε κύκλους)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 232

Re: Άσκηση στην Έλλειψη(Κέντρα κύκλων που εφάπτονται σε κύκλους)

Για το κέντρο $K_{i}$ ενός κύκλου $C_{i }$ που εφάπτεται συγχρόνως στους $C_{1}$ Και $C_{2}$ ισχύει ότι $d(K_{i },K_{1})=r_{i }+r_{1}$ $d(K_{i },K_{2)=r-r_{i }$ $K_{1}$ το κέντρο του $C_{1}$ $K_{2}$ το κέντρο του $C_{2}$ $r$ , $r_{1}$ , $r_{i }$ οι ακτίνες των $C_{2}$ , $C_{1}$ , $C_{i }$ αντίστοιχα...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση