Διαγράφτηκε λανθασμένη λύση.

α) Κάνω πράξεις στη δεύτερη και προκύπτει η αρχική.
β)
και . Τελικά, .

1)
$...\Leftrightarrow (x-a)(x^{2}+xa+a^{2})+(x-a)(x+a)+(x-a)=0$
$\Leftrightarrow (x-a)(x^{2}+xa+a^{2}+x+a+1)=0$
$\Leftrightarrow (x-a)\left [ x^{2}+(a+1)x+a^{2}+a+1 \right ]=0$
Το πολυώνυμο $x^{2}+(a+1)x+a^{2}+a+1$ δεν έχει καμία λύση ως προς $x$,
επειδή $D< 0$.
Συνεπώς η μοναδική λύση είναι η $x=a ...

Έστω το συμμετρικό του ημικύκλιου $ACDB$ ως προς $AB$ και $D'$ το συμμετρικό του $D$ ως προς $AB$. Προφανώς, $D'$ ανήκει στοκν κύκλο με ακτίνα $AB$ και συνεπώς $DD'=2a=CD$.
Είναι: $\overline{DD'}=50^{\circ}+50^{\circ}=100^{\circ}$, άρα $\overline{CD}=\overline{DD'}=100^{\circ}$.
Επομένως ...

Φοβάμαι πως δεν σας καταλαβαίνω, δεν επικαλούμαι ότι AZ=7.
Στο β) κάνω το αντίστροφο Πυθαγόρειο Θεώρημα, αντικαθιστώ το $AZ$ με το ισοδύναμο από τη δεύτερη και λύνω την εξίσωση. Δηλαδή, $AZ^{2}+AD'^{2}=D'Z^{2}$ $\Leftrightarrow AZ^{2}+5^{2}=(z+2)^{2}$
και $AZ^{2}=AD'^{2}+D'Z^{2}-2cos(60^{\circ})AD ...

α)
Και συνεπώς ισχύει .

β)
.

Ναι έχετε δίκαιο.
Το διόρθωσα.

α) Έστω το συμμετρικό του ως προς την .
Εφαρμόζοντας νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο και λύνοντας τη δευτεροβάθμια εξίσωση παίρνουμε
.

Οι πράξεις μου ήταν κάπως βιαστικές και μπορεί να έχω κάνει κάποιος λάθος. Κάθε διόρθωση είναι ευπρόσδεκτη.
Αφαιρέθηκε λάθος λύση.

Είναι .
Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη παίρνουμε το ζητούμενο.

Σχηματίζω το ορθογώνιο και
Άρα, και επειδή κοινή τα είναι ίσα.
Δηλαδή, .
(Στο σχήμα τα γράμματα των σημείων είναι τα αντίστοιχα των αγγλικών)

Από Θ.Θ είναι:

.
Με πολλαπλασιασμό των δύο αυτών σχέσεων παίρνουμε τη ζητούμενη ισότητα.

Έστω C και D τα μέσα των AS και SB αντίστοιχα. Φέρνουμε τισ CP, PS, ST και TD. Είναι:
$\widehat{CPS}=\widehat{CSP}, \widehat{STD}=\widehat{DST}, \widehat{CPS}+\widehat{SPT}=90^{\circ}, \widehat{DTS}+\widehat{STP}=90^{\circ}, \widehat{PSC}+\widehat{PST}+\widehat{TSB}=180^{\circ}$
και παίρνουμε ...

Υπάρχουν πολλές λύσεις, μία από αυτές είναι η .

Screenshot 2019-08-28 at 09.43.42.png

Με αποκλεισμό, το ένα σημείο (Μ) θα βρίσκεται στο ημυκύκλιο και το άλλο (Ν) στο εξάγωνο. Λήμμα: Η μέγιστη απόσταση ενός σημείου από κύκλο είναι η διάκεντρος που περνάει από το σημείο αυτό (για απόδειξη: https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=61726 ...

Έστω, $AD=y, DZ=DZ=a$ και $AZ=a-y$.
Είναι όμως, $\widehat{BAZ}+\widehat{CAD}=90^{\circ}$. Άρα, τα τρίγωνα CDA και AZB είναι όμοια και ισχύει:
$\frac{a-y}{c}=\frac{a}{b}\Leftrightarrow ab-by=ac\Leftrightarrow y=\frac{ab-ac}{b}=a-\frac{ac}{b}$.
Στο τρίγωνο ADC είναι: $b^{2}=y^{2}+a^{2}\Leftrightarrow ...