Μια λύση/σκέψη για το παραπάνω πρόβλημα. Δεν είμαι απόλυτα σίγουρος για την συνθήκη (*) ! Αρχικά, από την πρώτη συνθήκη καταλαβαίνουμε πως οι $a,b,c$ πρέπει να βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο, οπότε μπορούμε να γράψουμε: $a=e^{i\vartheta_1},b=e^{i\vartheta_2},c=e^{i\vartheta_3}, 0\leq \vartheta_1, \...

Πρόβλημα 4: Έστω $x_1,x_2,\dots,x_{2023}$ διαφορετικοί ανά δύο θετικοί πραγματικοί ώστε ο $\displaystyle a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\dots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots+\frac{1}{x_n}\right)}$ να είναι ακέραιος για κάθε $n=1,2,\dots,2023.$ Να δείξετε ότι $a_{2023} \geqslant 3034.$ Αρχικά θέλω ν...

socrates έγραψε: ↑

Δευ Ιουν 26, 2023 12:34 am

achilleas έγραψε: ↑

Κυρ Ιουν 25, 2023 9:34 pm

Πρόβλημα 1. Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακέραιων αριθμών τέτοια ώστε οι αριθμοί και να είναι και οι δύο δυνάμεις του .

Αρχικά ελέγχουμε τις περιπτώσεις όπου πρέπει επίσης

Από τις πρώτες περιπτώσεις βγαίνει και: .

Καλημέρα! Η ευθεία που ψάχνουμε είναι της μορφής: $g(x)=ax, \:a,x>0$ Είναι λοιπόν: $f(x)=g(x)\Leftrightarrow x(x^2-5x+7-a)=0$ Προφανώς για $x=0$, οι $f, g$ τέμνονται στην αρχή των αξόνων. Ας είναι $x_1, x_2$ οι τετμημένες των σημείων που τέμνονται οι $f,g$, με: $x_1=\dfrac{5-\sqrt{4a-3}}{2}, \:x_2=\...

Το Δ3 χωρίς Θ.Μ.Τ. μπορεί να βγει και με σύνολο τιμών της δεύτερης παραγώγου. Είναι: $f'(x)=-\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{1}{x^2}, \: f''(x)=-\dfrac{1}{(x-2)^2}-\dfrac{2}{x^3}<0$ για $x\in(0,2)$ Οπότε η $f'$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0,2)$ και: $f'((0,2))=(\lim_{x\rightarrow2^-}f'(x), \lim_{x\rightarrow...

geogebra-export.png Καλησπέρα! Μια λύση είναι η εξής: Φέρνουμε τις κάθετες από το σημείο $C$ που τέμνουν τα $HD,HB$ στα σημεία $K,L$ αντίστοιχα. Για να δείξουμε ότι η $HC$ είναι διχοτόμος της $D\widehat{H}B$, αρκεί να δείξουμε ότι $LC=KC$. Είναι: $L\widehat{B}C=Z\widehat{B}C=B\widehat{Z}A\Rightarro...

Έκανα μία φιλότιμη προσπάθεια να προσπαθήσω να υπολογίσω το ολοκλήρωμα ... Για κάποια $A,\:B,\:C$ μπορούμε να εργαστούμε ως εξής: $\dfrac{x^2}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)(x^2+c^2)}=\dfrac{A}{x^2+a^2}+\dfrac{B}{x^2+b^2}+\dfrac{C}{x^2+c^2}$ $\:$ $\Rightarrow x^2=A(x^2+b^2)(x^2+c^2)+B(x^2+a^2)(x^2+c^2)+C(x^2+a...

p2.png Τα τρίγωνα $\Delta NEM, \: \Delta BDC$ εύκολα βγαίνουν όμοια, αφού είναι $MN//BC$ δηλαδή $M\hat{N}E=D\hat{B}C$ και από την παραλληλία που δίνει το πρόβλημα είναι $M\hat{E}N=B\hat{D}C$. Τώρα από την ομοιότητα θα ισχυεί: $\frac{NE}{BD}=\frac{EM}{DC}=\frac{NM}{BC}$ Όμως είναι: $BC=2NM$ Από όπου...

Πρόβλημα 1ο (μεγάλων): Θα είναι: $\frac{xyz+1}{x+1}=\frac{yzw+1}{y+1}\Leftrightarrow xy^2x+xyz+y+1=xyzw+yzw+x+1 \: (1)$ $\frac{yzw+1}{y+1}=\frac{zwx+1}{z+1} \Leftrightarrow yz^2w+yzw+z+1=xyzw+zwx+y+1 \:(2)$ $\frac{zwx+1}{z+1}=\frac{wxy+1}{w+1}\Leftrightarrow zw^2x+zwx+w+1=wxyz+wxy+z+1 \:(3)$ $\frac...

Αρκεί να δείξουμε πως η εξίσωση: $2^x+2023=n^3$ είναι αδύνατη για $x, n$ θετικούς ακέραιους. Παρατηρούμε πως τα δυνατά υπόλοιπα κύβων $(mod\:7)$ είναι $\pm 1, 0$. (Από το little Fermat theorem ισχύει: $n^7\equiv n (mod\:7) \Leftrightarrow 7|n(n^3-1)(n^3+1)$ Αν $7\:|\:n\Leftrightarrow 7\:|\:n^3\Leftr...

Θέτουμε $b=\sqrt{x-1}$, με $b\geq0$ και $x\geq1$: $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\sqrt{b^2+1+3-4b}+\sqrt{b^2+1-2b}=$ $=\sqrt{(b-2)^2}+\sqrt{(b-1)^2}=|b-2|+|b-1|=a$ Παρατηρούμε: $a=|b-2|+|b-1|=|2-b|+|b-1|\geq|2-b+b-1|=1$, με ισότητα να ισχύει για: $(b-2)(1-b)\geq0\Leftrightarrow 1\leq b...

Θα είναι: $\frac{x^5+x-2}{x-1}=x^4+x^3+x^2+x+2=k^3\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow x^4+x^3+x^2+x+1=(k-1)(k^2+k+1)$ Παρατηρούμε για $k$ περιττό, το δεξιά μέλος της παραπάνω ισότητας είναι άρτιο σε αντίθεση με το αριστερά, άρα $k$ είναι άρτιος, δηλαδή $k=2n$: $x^4+x^3+x^2+x+2=8n^3\Rightarrow 8\:|\:x^...

Μια εναλλακτική λύση για το πρώτο πρόβλημα της Γ' Λυκείου: Θεωρούμε συνάρτηση: $f(a)=8a^3+8(2-a)^3-3a^4-3(2-a)^4$, με: $D_f=[0,2]$, αφού: $0\leq a\leq 2$. Θα είναι: $f'(a)=24a^2-24(2-a)^3-12a^3+12(2-a)^3=$ $=24a^2-24a^2+96a-96-12a^3+96-144a+72a^2-12a^3=$ $=-24a^3+72a^2-48a=-24a(a-1)(a-2)=0$ $\Leftri...

Έστω $x_1,x_2,x_3$ οι ρίζες του πολυωνύμου. Τότε αφού είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου θα ισχύει: $\frac{x_1+x_3}{2}=x_2\Leftrightarrow x_1+x_3=2x_2 \;\;(1)$ Από τους τύπους του Vieta έχουμε: $\begin{cases} x_1+x_2+x_3=-m \;\; (2)\\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=2m \;\;(3)\\ x_1x_2x_3=-8 \;\;(4)\end...

Πρόβλημα 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΒΓ<ΑΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (c). Ο κύκλος c(Α,ΑΒ) με (κέντρο Α και ακτίνα ΑΒ) τέμνει την ευθεία ΒΓ στο σημείο Δ και τον κύκλο (c) στο σημείο Η. Ο κύκλος c(Α,ΑΓ) με (κέντρο Α και ακτίνα ΑΓ) τέμνει την ευθεία ΒΓ στο σημείο Ζ και τον κύκλο (c) στο σημείο Ε. Οι ευθε...

Μια διαφορετική λύση για το πρόβλημα 2 των μεγάλων: Έστω $a_1, a_2,...,a_k$ οι περιττοί διαιρέτες του n, και $b_1, b_2, ..., b_{l}$ οι άρτιοι διαιρέτες του. Θα έχουμε: $f(n)=\sum_{i=1}^{l} b_i - 2\sum_{i=1}^{k}a_i$ , με $l\geq2$ αφού $4|n$. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 1η περίπτωση: Αν $k=1$, τότε τ...

Από την ανισότητα: $\alpha^2+\beta^2\geq2\alpha\beta$ Παίρνουμε: $\frac{\alpha^2+\beta^2}{\gamma}+\frac{\beta^2+\gamma^2}{\alpha}+\frac{\gamma^2+\alpha^2}{\beta}\geq2\left ( \frac{\alpha\beta}{\gamma}+\frac{\beta\gamma}{\alpha}+\frac{\gamma\alpha}{\beta} \right )$ με ισότητα ανν $\alpha=\beta=\gamma...