polysot έγραψε: ↑

Δευ Ιουν 02, 2025 12:05 pm

Γ4.
Συνεπώς δεν υπάρχει τέτοιο .

Η περίπτωση δεν πρέπει να εξεταστεί;

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $a$, για κάθε μια από τις οποίες το σύστημα εξισώσεων $\cos x = \sin \left ( \sqrt{4-7a^2} \cdot x\right)$ $\sin x = \left ( 3a-\dfrac{1}{2}\right) \cdot \cos \left ( \sqrt{4-7a^2} \cdot x \right ) $ έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα $\left[ \dfrac{\pi}{2}, ...

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$ για την οποία γνωρίζουμε ότι: $\displaystyle{f(x)f'(x)=\frac{x}{(x^2+1)^2} \quad \text{\gr διά κάθε} \quad x \in \mathbb{R}}$ και $f'(0) \neq 0$, $f(1)>0$, $f(-1)<0$. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \; , \; x \in \mathbb{R}}$. Να δειχθεί...

Με αφορμή αυτή την εξίσωση , ένα επαναληπτικό θέμα για τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου. Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{f(x)=e^{sinx}+e^{cosx}, \ \ x \in [0,2\pi]}$ και $g(x)=xe^{-x}, \ \ x\leq 1$ a. Να δείξετε ότι η συνάρτηση $g$ είναι $1-1$. b. Να λυθεί η εξίσωση $f'(x)=0$ c. Να μελετηθεί η συ...

Μεγιστολόγιο.pngΑπό την κορυφή $C$ του τετραγώνου $OABC$ και έξω απ' αυτό διέρχεται ευθεία $\varepsilon$ . Με πλευρά $KN$ επί της $\varepsilon$ , σχεδιάζουμε παραλληλόγραμμο $KLMN$, περιγεγραμμένο στο τετράγωνο . Ζητείται το μέγιστο του λόγου : $\dfrac{KN}{KL}$ . Εφαρμογή για κλίση της ευθείας : $m...

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $x,y$ για τους οποίους ισχύουν: $\bullet\ 0<x<\dfrac{\pi-y}{2}$ $\bullet\ 0<y<\pi$ Να αποδειχθεί η ανισότητα: $\sigma\varphi x-\sigma\varphi (y+x)> 2\cdot\varepsilon\varphi\dfrac{y}{2}$ Για τυχόν $y \in (0, \pi)$ θεωρώ τη συνάρτηση: $\displaystyle{ f: \biggl(0, \dfra...

Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ με αντίστοιχους τύπους: $\displaystyle{f(x)=x}$ και $\displaystyle{ g(x)=\left| \frac{3}{4}x^2-3 \right |-2 }$ των οποίων τα γραφήματα φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα: Σχέση εμβαδών 1.png Να δειχθεί ότι τα χωρία με πράσινο χρώμα έχουν συνολικό εμβαδόν ίσο μ...

Θέτουμε $x_o\in\mathbb{R}$ τη μοναδική λύση της εξίσωσης $e^{x}+2x-e=0$ η οποία μάλιστα δίνεται ότι βρίσκεται στο διάστημα $(0,1)$ Να αποδειχθεί η ανισότητα $\color{blue}x_o^2<(e-\frac{3}{2})x_o-\frac{e^2-3e+2}{4}$ Σημείωση To $x_o$ της άσκησης είναι το $x_o$ του θέματος Δ1 των Πανελλαδικών Εξετάσε...

Σκουλαρίκι στην μύτη.pngΑπό σημείο $S$ της προέκτασης της διαμέτρου $AB=d$ ενός ημικυκλίου , φέρουμε την εφαπτομένη $ST$ προς την οποία φέρουμε τo κάθετo τμήμα $AQ$ , το οποίο τέμνει το τόξο στο σημείο $P$ . Αν $M$ είναι το μέσο του τμήματος $AT$ , υπολογίστε το $BS=x$ , για το οποίο ελαχιστοποιείτ...

Α) Δείξτε ότι η συνάρτηση : $g(x)=2x\ell n(x+2)+x-2$ , έχει ακριβώς δύο ρίζες , τις $r , \rho$ , με $r \in (-2 , -1) , \rho \in (0,1)$ . Β) Μελετήστε την συνάρτηση : $f(x)=(x^2-4)\ell n(x+2)$ ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα . Γ) Υπάρχει τιμή του $k \in \mathbb{R}$ , ώστε η συνάρτηση : $h(x)=\...

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $a$, για κάθε μια από τις οποίες η ανίσωση $\dfrac{\sqrt{5}x^8+3x^{-8}-5 -a}{a-2\cos \sqrt{x-1} +3} \leq 0$ δεν έχει λύσεις. (Για Γ' Λυκείου) Πηγή: Ενιαία Κρατική Εξέταση Ρωσία, 2008. Έστω οι συναρτήσεις: $\displaystyle{ \begin{aligned} f: \bigl[1, +\infty \b...

Να λύσετε την ανίσωση $\dfrac{5}{6-3\sqrt{6-x-x^2}} - \dfrac{1}{x+1} > \dfrac{1}{1+|x+1|}$ . Θέτοντας τους απαραίτητους περιορισμούς: $\displaystyle{ \left\{ \begin{aligned} &x + 1 \ne 0 \\[0.05in] &6 - 3\sqrt{6 - x - x^2} \ne 0 \\[0.05in] &6 - x - x^2 \ge 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \l...

Για κάθε τιμή της παραμέτρου $a$ να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης $ max \{ 1-2x,x+4 \}= min \{4x+7, -2+x \} +3ax-3$. Ισοδύναμα: $\displaystyle{ \begin{aligned} \max\{ 1 - 2x, x + 4 \} = \min\{ 4x + 7, -2 + x \} + 3ax - 3 &\Leftrightarrow 5 - x + 3|x + 1| = 5x + 5 - 3|x + 3| + 6ax - 6 \\[...

Για την συνάρτηση $f(x)$ είναι γνωστό ότι έχει πεδίο ορισμού το διάστημα $\left [\dfrac{2}{5}, \dfrac{5}{2} \right ]$ και ικανοποιεί σε αυτό το διάστημα το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \cos \left ( 2f(x) \right) -6\cos^2 f \left ( \dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{1-3x}{x} \\ 0 \leq f(x)...

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $a$, για κάθε μία από τις οποίες η εξίσωση $\left | \ln \left ( x^2 \right ) -a \right | - \left | \ln x +2a \right | = \left ( \ln x \right )^2$ έχει ακριβώς τέσσερεις ρίζες. Γράφοντας $y = \ln x$, προκύπτει: $\displaystyle{ \Bigl| \ln \left ( x^2 \right ) -...

Ο $a$ είναι ένας ( σταθερός ) μη αρνητικός αριθμός . Να λυθεί η ανίσωση : $x+\sqrt{a}>a+\sqrt{x}$ Ισοδύναμα, για $x \ge 0$: $\displaystyle{ x + \sqrt{a} > a + \sqrt{x} \Leftrightarrow \sqrt{x}^2 - \sqrt{a}^2 - \Bigl( \sqrt{x} - \sqrt{a} \Bigr) > 0 \Leftrightarrow \Bigl( \sqrt{x} - \sqrt{a} \Bigr)\b...

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $a$, για κάθε μία από τις οποίες η λύση του συστήματος $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} a+3x \leq 12 \\ a+4x \geq x^2 \\ a \leq x \end{matrix}\right.}$ είναι ευθύγραμμο τμήμα (στον άξονα των πραγματικών αριθμών) μήκους $2$. Ισοδύναμα, το σύστημα γράφεται:...

Για ποιά ελάχιστη κατά απόλυτη τιμή της παραμέτρου $a$ η εξίσωση $1234\sin^{20} \left (x-\dfrac{\pi}{3} \right) -789\cos^{23} \left ( ax-\dfrac{\pi}{4}\right )=2023$ έχει λύση στο διάστημα $\left [ -\pi, \pi \right ]$; (Για Γ' Λυκείου) Παρατηρώ ότι: $\displaystyle{ \begin{aligned} \left. \begin{ali...

Μεταξύ όλων των τριγώνων εγγεγραμμένων σε κύκλο σταθερής ακτίνας, με γνωστό άθροισμα τετραγώνων γωνιών ( $\alpha^2 +\beta^2 +\gamma ^2= \pi^2/2$), να βρείτε όλα τα τρίγωνα με το μέγιστο δυνατό εμβαδόν. Για κάθε τέτοιο τρίγωνο να βρείτε την ελάχιστη τιμή όλων των γινόμενων ζεύγους γωνιών του. Μία πρ...

L Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Νίζνϊι Νόβγκοροντ 19-25 Απριλίου 2024 Θέματα της πρώτης μέρας για την 11η τάξη. 2. Μια τριάδα θετικών αριθμών $(a,b,c)$ θα την ονομάσουμε αινιγματική , αν $\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2c^2}+2ab} + \sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2a^2}+2bc} + \sqrt{c^2+\dfrac{1}{c^2b^2}+2ca} = 2(a+...