Καλησπέρα! Ας δούμε τη δεύτερη Είναι $\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx=\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx+\int_{\pi/2}^{\pi}f(sinx)dx=\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx+\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx=2\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx$ $(1)$,αφού με αλλαγή μεταβλητής $u=\pi-x$ εύκολα προκύπτει $\int_{\pi/2}^{\pi}f(sinx)dx=\int_{0}^{\pi/2}...

Καλησπέρα! (1) Αφού $a$ περιττός τότε θα γράφεται στη μορφή $a=2k+1, k \in \mathbb{Z}$ Επομένως, $a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1=2(2k^2+2k)+1=2l+1$ όπου $l=2k^2+2k$ Άρα, ο $a^2$ περιττός, όπως θέλαμε (2) Εφόσον $a^n$: άρτιος, τότε $2|a^n$ και αφού $2$: πρώτος θα έχω $2|a$ ή $2|a$ ή $2|a$ ή... $2|...

Καλημέρα! α) Έχουμε $D_{f}=[0,+\infty)$ Για κάθε $x\in(0,+\infty)$: $f'(x)=-\frac{e^{1-\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}}<0, \forall x>0$ οπότε η $f$ γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της Εύρεση συνόλου τιμών: $f([0,+\infty))=(\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x), f(0)]=(2,\frac{4+e}{2}]$, διότι $\lim_{x\rightarrow ...

Καλημέρα! Είναι $x^3-y^3=12\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)=12$ $(1)$. Επίσης, $x^2-y^2=4\Leftrightarrow (x-y)(x+y)=4\Leftrightarrow (x-y)=\frac{4}{x+y}$ (Η διαίρεση με $(x+y)$ είναι επιτρεπτή αφού αν $x=-y$ οι σχέσεις τις εκφώνησης δεν επαληθεύονται). Με αντικατάσταση της τελευταίας στην $(1)$, εύ...

Ευχαριστούμε για την εξαιρετική απεικόνιση του προβλήματος κύριε Κώστα!

Ωραία άσκηση ρευστών Γ' Λυκείου με μαθηματικό χαρακτήρα! Ας πάρουμε την γενικότερη περίπτωση της άσκησης. Έστω ότι το βαρέλι έχει ύψος $H$ και η απόσταση της τρύπας απο το έδαφος είναι $h$. Από την εκφώνηση, η ταχύτητα εκτίναξης του νερού από το βαρέλι είναι $u_{0}=\sqrt{2gx}\Leftrightarrow u_{0}=\s...

Βρείτε μερικούς τρόπους για να λύσετε το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+xy &=31 \\ x+y-xy& =29 \end{matrix}\right.$ Παραθέτω μια ακόμη προσέγγιση (από τις πολλές) για το σύστημα. Είναι: $(x+y)^2=31+xy$ και $(x+y)^2=(29+xy)^2$ επομένως $31+xy=(29+xy)^2\Leftrightarrow...\Leftrightarrow -(xy...

mick7 έγραψε: ↑

Τρί Μαρ 22, 2022 12:09 am

H γραφική παράσταση δίνει 4 λύσεις...

Όντως! Οι λύσεις που προκύπτουν μετά την επίλυση του συστήματος είναι τα παρακάτω ζεύγη:

Βρείτε μερικούς τρόπους για να λύσετε το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+xy &=31 \\ x+y-xy& =29 \end{matrix}\right.$ H πρώτη εξίσωση γράφεται $(x+y)^2-xy=31$, οπότε με $A=x+y,\, B=xy$ το σύστημα γράφεται $A^2-B=31,\, A-B=29$. Με πρόσθεση έχουμε $A^2-A=2$ οπότε $A= \dfrac {1}{2} (1\pm \sqrt...

Καλημέρα! Προσθέτω μια ακόμη λύση παρεμφερή με την πρώτη του κύριου Βισβίκη χωρίς να κάνουμε αλλαγή μεταβλητής. Η δοθείσα, μετά απο πράξεις, καταλήγει στην $2x^3+12x^2+\frac{75x}{2}-90=0\Leftrightarrow (2x-3)(x^2+\frac{15x}{2}+30)\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$ μοναδική ρίζα αφού το τριώνυμο $x^2+\fr...

Καλησπέρα! Παραθέτω ακόμη έναν τρόπο για το α) ερώτημα με χρήση διαφορικού λογισμού. Προφανώς για $\small x=0$, η προς απόδειξη ανισότητα ισχύει. Με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα $\small [0,x]$ για τη συνάρτηση $\small f(x)=cosx+\frac{x^2}{2}, x\in \mathbb{R}$ προκύπτει ότι $\small \exists \xi \i...

Καλησπέρα! Υποθέτω ότι $\small x^2+y^2+z^2=4$ Άρα θα είναι, $\small 3x^2-2(2xy-yz+xz)=-8=-2(4)=-2(x^2+y^2+z^2)$ $\Leftrightarrow 3x^2-4xy+2yz-2xz= -2x^2-2y^2-2z^2$ $\Leftrightarrow 5x^2+2y^2+2z^2-4xy+2yz-2xz=0\Leftrightarrow (2x-y)^2+(y+z)^2+(x-z)^2=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{y}{2} \wedge y=-z \wed...

Καλησπέρα! Ας προσδιορίσουμε και τους $\small x,y$ που ικανοποιούν τις σχέσεις που έχουν προκύψει. Αρχικά αφου $\small xy=26$ έπεται ότι $\small x,y\neq 0$. Συνεπώς, θα είναι $\small xy=26\Leftrightarrow y=\frac{26}{x}$. Άρα από υπόθεση $\small x+y=9\Leftrightarrow x+\frac{26}{x}-9=0\Leftrightarrow ...

Έγινε σας ευχαριστώ πολύ για τις διευκρινίσεις!

Καλησπέρα! Είμαστε σίγουροι ότι ισχύει το α? Η υπάρχει κάτι που δεν βλέπω?

Παραθέτω και μια δεύτερη πιο εύκολη λύση. Όπως και πριν το δοθέν μετασχηματίζεται σε $\small \lim_{x\rightarrow 1}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+1}{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt{x}-1)}$. Αν στο όριο που προκύπτει θέσουμε $\small \sqrt[6]{x}=u$ τότε $\small \sqrt{x}=u^3$ και $\small \...

Καλησπέρα! Δίνω μια λύση στο όριο. Το δοθέν ξαναγράφεται $\lim_{x \rightarrow 1}f(x)=\lim_{x \to 1} \frac{-3\sqrt[3]{x}+2\sqrt{x}+1}{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt{x}-1)}$ και απο κανόνες de l'Hôpital για την απροσδιοριστία 0/0 θα έχω: $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}...