Καλησπέρα σε όλους. Το σχολικό βιβλίο δέχεται ότι οι πλευρικές παράγωγοι σε κάθε σημείο είναι ίσες ;

Καλησπέρα σε όλους. Κατά την επίλυση διαφορικων εξισώσεων οι οποίες είναι ακριβείς, ψάχνουμε μια συνάρτηση 2 μεταβλητών της οποίας το ολικό διαφορικό επειτα από αντικατάσταση στη σχέση να δίνει: $dF = 0$, όπου $F= F(x,y) $. Η ερώτησή μου είναι η εξής : αφού μιλάμε για συνήθεις διαφορικές ...

Καλησπέρα σε όλους. Κατά την επίλυση διαφορικων εξισώσεων οι οποίες είναι ακριβείς, ψάχνουμε μια συνάρτηση 2 μεταβλητών της οποίας το ολικό διαφορικό επειτα από αντικατάσταση στη σχέση να δίνει: $dF = 0$, όπου $F= F(x,y) $. Η ερώτησή μου είναι η εξής : αφού μιλάμε για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ...

Καλημέρα!
Έστω 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $ τέτοια, ώστε: $f, f',f''>0,\forall x\in\mathbb{R} $. Τι μπορούμε να πούμε για το όριο : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty }f'(x) $ ;


Ελπίζω να μην είναι άσκηση στο σπίτι από μαθήματα που παρακολουθείς. Γι΄αυτό ...

Καλημέρα!
Έστω 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια, ώστε: . Τι μπορούμε να πούμε για το όριο : ;

Καλησπέρα, θα μπορούσατε να μου εξηγήσετε τη διαφορά μεταξύ των προτάσεων: " έστω τυχαίο σημείο " και " έστω αυθαίρετο σημείο " ;
Σας ευχαριστώ

Απλώς με προβληματίζει επειδή το σχολικό ορίζει την ιδιότητα αυτή σε όλο το πεδίο ορισμού και όχι σε διάστημα όπως τη μονοτονία

Καλησπέρα, μπορούμε να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα 1-1 σε διάστημα του πεδίου ορισμού στη γ λυκείου; Δηλαδή έστω $f$ η οποία δεν είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της αλλά αν μας ζητηθεί να λύσουμε την εξίσωση:$f(-2x)=f(-2(x+1))$ και $-2x, -2(x+1)$ανήκουν σε διάστημα της f στο οποίο είναι 1 ...

Πράγματι είναι. Οπότε έχουμε :$(f'(x))^{2}+ (f(x))^{2}=c \Leftrightarrow \mid f'(x)\mid =\sqrt{c-f^{2}\ (x)}$. Αν $f'(x)>0$ τότε : $\frac{ f'(x)}{\sqrt{c-f^{2}\ (x)}}=1\Leftrightarrow (\sqrt{c-f^{2}(x)})'=f(x)$.
Μέχρι εδώ είμαι σωστός ; Αμφιβάλλω αν πηγαίνει έτσι βέβαια


Εκτός από το ...

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μάιος 28, 2022 11:12 pm Λογικά θα έχεις αρχικές συνθήκες ... πχ .

Έχουμε και . Απλώς ήθελα να δω την γενική περίπτωση

Καλησπέρα σας, μπορεί η $f''(x)=-f(x)$ να λυθεί με λυκειακό τρόπο;
Ευχαριστω


Δείξε ότι η συνάρτηση $g(x) = f^2(x) + (f'(x))^2$ είναι σταθερή.

Πράγματι είναι. Οπότε έχουμε :$(f'(x))^{2}+ (f(x))^{2}=c \Leftrightarrow \mid f'(x)\mid =\sqrt{c-f^{2}\ (x)}$. Αν $f'(x)>0$ τότε : $\frac{ f'(x ...

Καλησπέρα σας, μπορεί η να λυθεί με λυκειακό τρόπο;
Ευχαριστω

Καλημέρα. Νομίζω ότι αυτός που έφτιαξε την άσκηση θα προτιμούσε να δει κάτι με Bolzano, του στυλ :

Γράψε την αρχική σχέση με προσθαφαίρεση του $x^2$ στη μορφή $(e^{f(x)}-x)^2=x^2+1,\,x\in\mathbb{R}$.

Έπειτα $x^2+1\neq 0$ και άρα $e^{f(x)}-x\neq 0$ και λόγω συνέχειας και του γεγονότος $e^{f(0)}-0 ...

Καλημέρα, απ' ότι είχα δει είχε συζητηθεί και παλαιότερα, αλλά θέτω το ερώτημα ξανά για να καταλάβω τι ακριβώς γίνεται.
Αν έχουμε την συναρτησιακη $ e^{2f(x)} - 2xe^{f(x)}-1 =0 $ και για την $f$ ισχύει $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ f(0)=0$ είναι σωστό να χρησιμοποιήσω τον τύπο της ...

Σας ευχαριστώ πολύ! Και κάτι άλλο. Έχω δει σε πάρα πολλές ασκήσεις όταν έχουμε μια δίκλαδη συνάρτηση (και η f" είναι θετικη ή αντίστοιχα αρνητική σε διάστημα$(a,x_o)\cup (x_o, b)$) να μην εξετάζεται η συνέχεια της παραγώγου στο σημείο αλλαγής τύπου $χο$ , αλλά να βγαίνει γενικό συμπέρασμα για ...

Είναι ίσες ναι. Επομένως επειδή η είναι συνεχής και στους 2 κλάδους στο 0 μπορούμε και βάζουμε κλειστό, σωστά ;

Σας ευχαριστώ πολύ! Και κάτι άλλο. Έχω δει σε πάρα πολλές ασκήσεις όταν έχουμε μια δίκλαδη συνάρτηση (και η f" είναι θετικη ή αντίστοιχα αρνητική σε διάστημα$(a,x_o)\cup (x_o, b)$) να μην εξετάζεται η συνέχεια της παραγώγου στο σημείο αλλαγής τύπου $χο$ , αλλά να βγαίνει γενικό συμπέρασμα για την ...

Σωστά όμως έτσι όπως έχω γράψει ορίζεται και ο δεύτερος κλάδος στο 0 ; Ή δεν μας πειράζει;

Καλησπέρα σας, θα ήθελα να παραθέσω την λύση μου πάνω σε μια άσκηση στην μελέτη κυρτότητας και να μου πείτε αν κάπου έχω κάνει λάθος.
Έχουμε, $f(x)=\left\{\begin{matrix}
2x^{2}+1 &,x\leq 0 & \\
-2x^{2}+1 &,x>0 &
\end{matrix}\right.$
η οποία ειναι παραγωγίσιμη στο 0 με $f'(0)=0$, επομένως :
$f'(x ...