Όριο γνησίως αύξουσας παραγώγου

konstantinos5 · #1

Καλημέρα!
Έστω 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε: $f, f',f''>0,\forall x\in\mathbb{R}$ . Τι μπορούμε να πούμε για το όριο : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty }f'(x)$ ;

#2

konstantinos5 έγραψε: Τρί Δεκ 20, 2022 11:47 am Καλημέρα!
Έστω 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε: $f, f',f''>0,\forall x\in\mathbb{R}$ . Τι μπορούμε να πούμε για το όριο : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty }f'(x)$ ;

Ελπίζω να μην είναι άσκηση στο σπίτι από μαθήματα που παρακολουθείς. Γι΄αυτό απαντώ εν μέρη.

Το ερώτημα φαίνεται πολύ γενικό. Για παράδειγμα η 2022 +e^x

ικανοποιεί τις υποθέσεις. Εδώ το όριο που ψάχνεις είναι 2022

(γατί;). Μπορείς να βρεις παράδειγμα που το όριο να είναι όποιος αριθμός θέλεις, από

και πάνω;

konstantinos5 · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Δεκ 20, 2022 12:41 pm
konstantinos5 έγραψε: Τρί Δεκ 20, 2022 11:47 am Καλημέρα!
Έστω 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε: $f, f',f''>0,\forall x\in\mathbb{R}$ . Τι μπορούμε να πούμε για το όριο : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty }f'(x)$ ;
Ελπίζω να μην είναι άσκηση στο σπίτι από μαθήματα που παρακολουθείς. Γι΄αυτό απαντώ εν μέρη.

Το ερώτημα φαίνεται πολύ γενικό. Για παράδειγμα η ικανοποιεί τις υποθέσεις. Εδώ το όριο που ψάχνεις είναι (γατί;). Μπορείς να βρεις παράδειγμα που το όριο να είναι όποιος αριθμός θέλεις, από και πάνω;

Καλησπέρα, όχι δεν είναι για το σπίτι, είναι κομμάτι μιας εκφώνησης από τον διαγωνισμό putnam. Η συνάρτηση που δώσατε ικανοποιεί τις υποθέσεις, όμως το οριο βγαίνει 2022

για την

, όχι για την

που ζήτησα.

Παρατήρησα ότι πάντα βγαίνει 0, αλλά δεν μπορώ να το αποδείξω. Μια πρώτη σκέψη που έκανα είναι με ΘΜΤ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

konstantinos5 έγραψε: Τρί Δεκ 20, 2022 11:47 am Καλημέρα!
Έστω 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε: $f, f',f''>0,\forall x\in\mathbb{R}$ . Τι μπορούμε να πούμε για το όριο : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty }f'(x)$ ;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#5

konstantinos5 έγραψε: Τρί Δεκ 20, 2022 1:25 pm ... είναι κομμάτι μιας εκφώνησης από τον διαγωνισμό putnam. Η συνάρτηση που δώσατε ικανοποιεί τις υποθέσεις, όμως το οριο βγαίνει για την , όχι για την που ζήτησα.

Έχεις δίκιο, το σχόλιό μου αφορά το όριο της

και όχι της

. Ζητώ συγνώμη για την αναστάτωση. Έγραφα από το αεροδρόμιο περιμένοντας την πτήση μου, οπότε δεν διάβασα σωστά την άσκηση.

Αν πρόκειται για άσκηση από τον διαγωνισμό Putnam, προς τι η ερώτηση στο φόρουμ αφού πολύ εύκολα μπορείς να βρεις την απάντηση σε πάμπολλα site;

Aν ξέρεις την χρονιά που έπεσε το θέμα, θα μπορέσεις σε λίγα δευτερόλεπτα να βρεις έτοιμη γραμμένη την λύση του.

Τέλος, δεν έχει νόημα να τοποθετείς ένα θέμα στον φάκελο της Γ' Λυκείου αν δεν γνωρίζεις ότι λύνεται με τις γνώσεις (για να μην πω και το πνεύμα) της συγκεκριμένης τάξης. Αλλιώς αποπροσανατολίζεις τους αναγνώστες.

Ορέστης Λιγνός · #6

konstantinos5 έγραψε: Τρί Δεκ 20, 2022 11:47 am Καλημέρα!
Έστω 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε: $f, f',f''>0,\forall x\in\mathbb{R}$ . Τι μπορούμε να πούμε για το όριο : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty }f'(x)$ ;

Θα αποδείξουμε ότι το όριο υπάρχει και ισούται με

. Έστω τυχαίο $\epsilon >0$ .

Ισχυρισμός: Υπάρχει x_0

τέτοιο, ώστε $f'(x_0) < \epsilon$ .
Απόδειξη: Έστω ότι τέτοιο x_0

δεν υπάρχει, οπότε είναι $f'(x) \geq \epsilon$ για κάθε

. Έστω $g(x)=f(x)-\epsilon x$ , οπότε αφού $g'(x)=f'(x)-\epsilon \geq 0,$ έπεται ότι η

είναι αύξουσα. Άρα, για κάθε x_1<x_2

, είναι

$g(x_1) \leq g(x_2) \Rightarrow f(x_1)-\epsilon x_1 \leq f(x_2)-\epsilon x_2$ .

Αφού όμως f(x)>0

για κάθε

, προκύπτει ότι

$\epsilon x_1 \geq f(x_1)+\epsilon x_2-f(x_2)>\epsilon x_2-f(x_2),$

δηλαδή ότι

$x_1>x_2-\dfrac{f(x_2)}{\epsilon},$

το οποίο για αρκετά μικρό x_1

είναι άτοπο $\blacksquare$

Στο πρόβλημα, αφού f''>0

η

είναι αύξουσα, άρα για κάθε x<x_0

είναι

$f'(x) \leq f'(x_0)<\epsilon,$

οπότε προκύπτει ότι

$-\epsilon <0<f'(x)<\epsilon,$

άρα $|f'(x)-0|<\epsilon$ για κάθε x<x_0

, συνεπώς από τον ορισμό του ορίου είναι $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} f'(x)=0$ , που δίνει το ζητούμενο.

abgd · #7

konstantinos5 έγραψε: Τρί Δεκ 20, 2022 11:47 am Καλημέρα!
Έστω 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε: $f, f',f''>0,\forall x\in\mathbb{R}$ . Τι μπορούμε να πούμε για το όριο : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty }f'(x)$ ;

Έστω $\displaystyle{x<0}$
Με τη βοήθεια του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα $\displaystyle{[2x,x], \ \ [x,0]}$ και λόγω της μονοτονίας των $\displaystyle{f, f^{\prime}}$ ισχύει:

$\displaystyle{0<\frac{f(2x)-f(x)}{x}<f^{\prime}(x)<\frac{f(x)-f(0)}{x}<-\frac{f(0)}{x}}$ , με την τελευταία ανισότητα να ισχύει αφού $\displaystyle{f(x)>0}$ .

Από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε: $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}{f^{\prime}(x)=0}$

Όριο γνησίως αύξουσας παραγώγου

Όριο γνησίως αύξουσας παραγώγου

Re: Όριο γνησίως αύξουσας παραγώγου

Re: Όριο γνησίως αύξουσας παραγώγου

Re: Όριο γνησίως αύξουσας παραγώγου

Re: Όριο γνησίως αύξουσας παραγώγου

Re: Όριο γνησίως αύξουσας παραγώγου

Re: Όριο γνησίως αύξουσας παραγώγου

Μέλη σε σύνδεση