Η αναζήτηση βρήκε 137 εγγραφές

από Math Rider
Τρί Μάιος 28, 2019 11:25 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: ΙΣΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΕΜΒΑΔΩΝ
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 377

Re: ΙΣΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΕΜΒΑΔΩΝ

Έστω τρίγωνο $ABC.$ Έστω τα παράκεντρά του $I_{a},I_{b},I_{c}.$ Έστω $D E F$ το τρίγωνο που έχει κορυφές τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του $ABC$ με τις πλευρές του. Έστω $PQR$ το ορθικό τρίγωνο του $ D E F . $ Αποδείξτε ότι $\left (I_{a}I_{b}I_{c} \right )\cdot \left ( PQR \right )=\lef...
από Math Rider
Τρί Απρ 16, 2019 3:55 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΑ ΑΠΟ ΤΟ ΠΟΥΘΕΝΑ...
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 504

Re: ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΑ ΑΠΟ ΤΟ ΠΟΥΘΕΝΑ...

Θέτοντας $ x=\dfrac{A}{2},y=\dfrac{B}{2}, z=\dfrac{C}{2}$ στην γνωστή ταυτότητα $\sin{x}+\sin{y}+\sin{z}-\sin{(x+y+z)}=4\sin{\dfrac{x+y}{2}}\sin{\dfrac{y+z}{2}}\sin{\dfrac{z+x}{2}}$ παίρνουμε ότι $\sin{\dfrac{A}{2}}+\sin{\dfrac{B}{2}}+\sin{\dfrac{C}{2}}-1=4\sin{\dfrac{A+B}{4}}\sin{\dfrac{B+C}{4}}\si...
από Math Rider
Δευ Φεβ 11, 2019 7:07 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Εμβαδόν εξαγώνου
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 637

Re: Εμβαδόν εξαγώνου

Εμβαδόν εξαγώνου.png Έστω $H$ το ορθόκεντρο του τριγώνου $PMK$. Τα τετράπλευρα $PNMH$, $MLKH$ και $KQPH$ είναι παραλληλόγραμμα. (Οι απέναντι πλευρές τους είναι κάθετες σε παράλληλες ευθείες) Επομένως $(KLMNPQ)= (PNMH)+ (MLKH)+ (KQPH)= 2(HPM) + 2(HMK) +2(HKP)=$ $2(PMK)=2\cdot\dfrac{1}{4}(ABC)=\dfrac...
από Math Rider
Κυρ Νοέμ 25, 2018 11:54 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τετράγωνο μέσα σε τετράγωνο.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 566

Re: Τετράγωνο μέσα σε τετράγωνο.

Οπως φαίνεται και από την $\displaystyle \sqrt {{{(4a - x)}^2} + {{(4a - y)}^2}} + \sqrt {{x^2} + {{(4a - y)}^2}} + \sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{{(4a - x)}^2} + {y^2}} $, όπου $0 \le x \le 4a$ και $0 \le y \le 4a$. στην ουσία θέλουμε το αθροισμα των αποστάσεων ενός σημείου εσωτερικού του τετραγώ...
από Math Rider
Σάβ Νοέμ 24, 2018 7:23 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τετράγωνο μέσα σε τετράγωνο.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 566

Re: Τετράγωνο μέσα σε τετράγωνο.

Τετράγωνο Μέσα Σε Τετράγωνο.png Προεκτείνουμε τις πλευρές του μικρού τετραγώνου μέχρι να τμήσουν τις πλευρές του μεγάλου. Θέτοντας (βλέπε σχήμα) $GJ = x$ και $GK = y$ εύκολα προκύπτει από τα ορθογώνια και το Πυθαγόρειο Θεώρημα ότι είναι $\displaystyle AE + BF + CG + DH = $ $\displaystyle \sqrt {{{(...
από Math Rider
Κυρ Αύγ 05, 2018 11:46 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα με δύο ακεραίους!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 516

Re: Ανισότητα με δύο ακεραίους!

Η ανισότητα γράφεται ως $\displaystyle x^{3}y^{3}\geq 3x^{2}y^{2}+x^{3}+ y^{3}$ ή $\displaystyle \displaystyle{1\geq \frac{3}{xy}+ \frac{1}{x^3}+ \frac{1}{y^3}}$ . Επειδή $\displaystyle x\geq 2$ και $\displaystyle y\geq 2$ έχουμε αντιστοίχως ότι $\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{x}\leq \frac{1}{...
από Math Rider
Τετ Απρ 25, 2018 5:14 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα S435 από το MR
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 501

Re: Ανισότητα S435 από το MR

Άλλη μία λύση: Έχουμε ότι $\displaystyle{a^3+b^3+c^3+\frac{8}{(a+b)(b+c)(c+a)}=} $ $\displaystyle{(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc+\frac{8}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}=}$ $\displaystyle{(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3+\frac{8}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-1}}$. Οπότε, αρκεί να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{(a+b+c)...
από Math Rider
Τετ Απρ 25, 2018 4:34 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 606

Re: Ανισότητα

Πολλαπλασιάζοντας την ανισότητα με $-1$ και προσθέτοντας κατόπιν το $ 1+1+1=3$ παίρνουμε την ισοδύναμη: $\displaystyle{\frac{ab}{1+ab}+\frac{bc}{1+bc}+\frac{ca}{1+ca}\leq \frac{3}{2}}$. Τώρα, από την ανισότητα AM-GM και την Cauchy - Schwarz έχουμε ότι $\displaystyle{\frac{ab}{1+ab}+\frac{bc}{1+bc}+\...
από Math Rider
Δευ Απρ 23, 2018 3:40 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Απόδειξη Ανισότητας
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 812

Re: Απόδειξη Ανισότητας

Αν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί $\chi ,\psi, \zeta $ έχουν άθροισμα ίσο με το 1, να δείξετε ότι: $\left ( 1+\frac{1}{\chi } \right )\left ( 1+\frac{1}{\psi } \right )\left ( 1+\frac{1}{\zeta } \right )$$ \geq 64$ Χρησιμοποιώντας την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε $\displaystyle{\left ( 1+\frac{1}{x} \rig...
από Math Rider
Παρ Ιούλ 03, 2015 6:32 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: ΕΚΕΙ ΠΟΥ ΒΑΡΙΟΜΟΥΝ...
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 646

Re: ΕΚΕΙ ΠΟΥ ΒΑΡΙΟΜΟΥΝ...

Σε τρίγωνο $ABC$ έστω $G$ το βαρύκεντρο και $L$ το σημείο Lemoine. Έστω $R_{a}$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $GBC$. Όμοια ορίζονται οι ακτίνες $R_{b},R_{c}$ . Έστω $\rho _{a}$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $LBC$. Όμοια ορίζονται οι ακτίνες $\rho _{b},\rho _{c}...
από Math Rider
Σάβ Ιουν 20, 2015 4:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Τετραγωνισμός ορθογωνίου πλευρών τριγώνου.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 987

Re: Τετραγωνισμός ορθογωνίου πλευρών τριγώνου.

Καλημέρα σας αγαπητοί φίλοι και σας ευχαριστώ για τις παρεμβάσεις σας. Νίκο, για μένα δεν υπάρχουν άσχημες αποδείξεις. Απλώς, κάποιες, επειδή είναι γραμμένες στο " Βιβλίο " ( πρόσφατο παράδειγμα, αυτή ), είναι πολύ όμορφες. Κάθε απόδειξη είναι ένα ταξίδι στην σκέψη του άλλου και όπως έχω πει με άλλ...
από Math Rider
Τετ Ιουν 17, 2015 2:55 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Τετραγωνισμός ορθογωνίου πλευρών τριγώνου.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 987

Re: Τετραγωνισμός ορθογωνίου πλευρών τριγώνου.

Κάτι άσχημο… Αν το τρίγωνο $ABC$ είναι ισοσκελές με $AB = AC$ το ζητούμενο προκύπτει εύκολα. Έστω ότι $AC > AB$ δηλαδή $b > c$ (η περίπτωση $AC < AB$ είναι παρόμοια). Τετραγωνισμός.png Έστω $E,F$ τα μέσα των $SV,TU$ αντιστοίχως και $R,R'$ οι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $ABD$ και ...
από Math Rider
Τετ Μάιος 27, 2015 11:44 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Λόγος γινομένων!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1013

Re: Λόγος γινομένων!

Λόγος Γινομένων1.png Από το θεώρημα του Πτολεμαίου στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο $DFHK$ έχουμε ότι $FD \cdot HK + FH \cdot DK = HD \cdot KF$, άρα $\frac{{FD \cdot HK}}{{FH \cdot DK}} = \frac{{HD \cdot KF}}{{FH \cdot DK}} - 1$ (1) . Από τον νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα $AFD$ και $CFD$ έχουμε ότι $\f...
από Math Rider
Τρί Μάιος 26, 2015 4:07 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 458

Re: Ανισότητα!

Για να αποδείξουμε την ανισότητα $\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}} \ge 1$, αρκεί να αποδείξουμε ότι $(b + 2)(c + 2) + (c + 2)(a + 2) + (a + 2)(b + 2) \ge (a + 2)(b + 2)(c + 2)$ ή (μετά τις πράξεις) ότι $4 \ge abc + ab + bc + ca$ (1) . Από την αρχική συνθήκη και την ανισότητα...
από Math Rider
Παρ Απρ 10, 2015 5:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Γεωμτερική Ανισότητα από το KöMaL!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 467

Re: Γεωμτερική Ανισότητα από το KöMaL!

Από την σχέση $\displaystyle{bc = 2R{h_a}}$ και τον νόμο των ημιτόνων έχουμε ότι $\displaystyle{{h_a} = \frac{{bc}}{{2R}} = \frac{{(2R\sin B)(2R\sin C)}}{{2R}} = 2R\sin B\sin C = (2R)(\sin B\sin C) = \frac{{a(\sin B\sin C)}}{{\sin A}}}$. Άρα $\displaystyle{\frac{{{h_a}}}{a} = \frac{{\sin B\sin C}}{{...
από Math Rider
Σάβ Φεβ 08, 2014 12:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητες με ακτίνες εγγεγραμμένων κύκλων!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 263

Re: Ανισότητες με ακτίνες εγγεγραμμένων κύκλων!

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και σημείο $\displaystyle{M}$ στο εσωτερικό του. Ας είναι $\displaystyle{r_1,r_2,r_3}$ οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\displaystyle{MBC, MCA,MAB,}$ αντίστοιχα. Ως συνήθως, ας είναι $\displaystyle{s,R,r}$ η ημιπερίμετρος, η ακτίνα του περιγεγρα...
από Math Rider
Κυρ Δεκ 29, 2013 11:25 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Τριγωνομετρική Ανισότητα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 265

Re: Τριγωνομετρική Ανισότητα!

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά σε όλους! Μια προσπάθεια: Τριγωνομετρική Ανισότητα.png Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{ ABC }$ και τις τριχοτόμους $\displaystyle{ AD }$, $\displaystyle{ AE }$ της γωνίας $\displaystyle{ \angle A }$. Θέτουμε $\displaystyle{ BD = y }$, $\displaystyle{ DE = x }$ και $\displa...
από Math Rider
Κυρ Δεκ 15, 2013 10:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Εμβαδόν Τριγώνου Παράκεντρων
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 453

Re: Εμβαδόν Τριγώνου Παράκεντρων

Καλησπέρα στην παρεα. Τρεις ακόμα αποδείξεις: 1η : Το τρίγωνο $\displaystyle{ I_a I_b I_c }$ είναι (πάντα) οξυγώνιο αφού εύκολα βρίσκουμε ότι οι γωνίες του είναι $\displaystyle{ I_a = 90^ \circ - \frac{A}{2} }$, $\displaystyle{ I_b = 90^ \circ - \frac{B}{2} }$, $\displaystyle{ I_c = 90^ \circ - \fra...
από Math Rider
Σάβ Δεκ 14, 2013 10:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Εμβαδόν Τριγώνου Παράκεντρων
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 453

Re: Εμβαδόν Τριγώνου Παράκεντρων

Ευχαριστώ πολύ τους κυρίους Σ. Κούτρα και Σ. Λουρίδα για την ενασχόληση και τις καταπληκτικές λύσεις!!!
Θα αναρτήσω αύριο μερικούς ακόμα τρόπους.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση