Η αναζήτηση βρήκε 6081 εγγραφές

από matha
Τετ Σεπ 30, 2020 7:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΠΟΥ ΜΟΥ ΧΡΕΙΑΣΤΗΚΕ...
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 257

Re: ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΠΟΥ ΜΟΥ ΧΡΕΙΑΣΤΗΚΕ...

Με δεδομένο την ανισότητα $\displaystyle{\boxed{\cos ^2 \frac{B-C}{2}\geq \frac{2r}{R}}}$ ($\displaystyle{\color{red}\bigstar}$) είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\sqrt{\frac{2r}{R}}(a^2+b^2+c^2)\geq 4\sqrt{3}E,}$ δηλαδή ότι $\displaystyle{a^2+b^2+c^2\geq \sqrt{24s^2Rr}}$ που γράφεται ω...
από matha
Κυρ Σεπ 27, 2020 4:33 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΙΜΟ 2020
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 1880

Re: ΙΜΟ 2020

Πολλά συγχαρητήρια σε όλους!
από matha
Κυρ Σεπ 27, 2020 11:29 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Τριγωνομετρική ανίσωση με παράμετρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 129

Re: Τριγωνομετρική ανίσωση με παράμετρο

Θέτουμε $\displaystyle{q:=2\sin x\cos x,}$ όποτε $\displaystyle{|q|\leq 1}$ και το πρόβλημα μεταφράζεται στο εξής: Να βρεθούν οι τιμές του $\displaystyle{a}$, ώστε να ισχύει $\displaystyle{aq<2-q^2}$ για κάθε $\displaystyle{q}$ του $\displaystyle{[-1,1].}$ Για θετικά $\displaystyle{a}$ η συνθήκη γρά...
από matha
Κυρ Σεπ 27, 2020 11:18 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Πίνακας 2x2
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 174

Re: Πίνακας 2x2

Να βρεθεί ο 2χ2 πίνακας Μ ώστε $\displaystyle M^2=\begin{bmatrix}33 & 44 \\66 & 88 \end{bmatrix}$ Αλλιώς, από το θεώρημα Cayley-Hamilton και επειδή ο $\displaystyle{M}$ είναι φανερά μη αντιστρέψιμος, έχουμε $\displaystyle{M^2=(tr M)M}$. Αν λοιπόν είναι $\displaystyle M=\begin{bmatrix}a & b \\c & d ...
από matha
Κυρ Σεπ 13, 2020 12:49 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Απόδειξη / Κατάρριψη
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 138

Re: Απόδειξη / Κατάρριψη

Η ανισότητα ισχύει! Πρόκειται για την ανισότητα Kooi, η οποία είναι αρκετά σφιχτή ανισότητα και ισοδύναμες μορφές της είναι οι παρακάτω: $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ $\displaystyle{s^2\leq \frac{R(4R+r)^2}{2(2R-r)}}$ $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ $\displaystyle{\frac{\cos ^2 A}{1+\cos...
από matha
Τετ Ιούλ 15, 2020 10:03 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ισοσκελές τρίγωνο-2
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 315

Re: Ισοσκελές τρίγωνο-2

Από το θεώρημα τεμνόμενων χορδών βρίσκουμε αμέσως ότι $\displaystyle{DZ=\frac{b^2}{4m_b},~~EH=\frac{c^2}{4m_c}.}$ Δεδομένου ότι ισχύει η ισοδυναμία $\displaystyle{x\geq y\iff m_x\leq m_y,}$ έχουμε $\displaystyle{DZ=EH\implies \frac{b^2}{m_b}=\frac{c^2}{m_c}\implies \left(\frac{b}{c}\right)^2=\frac{m...
από matha
Δευ Ιουν 29, 2020 8:55 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 552

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1

Pantelis.N έγραψε:
Δευ Ιουν 29, 2020 6:57 pm
Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε (3a+4b)^2\leq 25

Από Cauchy-Schwarz παίρνουμε (9+16)(a^2+b^2)\geq (3a+4b)^2

Άρα αρκεί (9+16)(a^2+b^2)\leq 25 που ισχύει εφόσον a^2+b^2=1
Η λύση σου έχει πρόβλημα. Βρες το και αν χρειαστείς βοήθεια, εδώ είμαστε.
από matha
Πέμ Ιουν 25, 2020 7:38 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άρρητη εξίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 685

Re: Άρρητη εξίσωση

Θέτουμε $\displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{2x-1}, x\geq \frac{1}{2}.}$ Τότε είναι φανερά $\displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{x^3+1}{2}, x\geq 0}$ και η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{f(x)=f^{-1}(x).}$ Επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{f(x)=x,x\g...
από matha
Πέμ Ιουν 25, 2020 1:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2020
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 816

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2020

Νομίζω το ελάχιστο που μπορούμε να ζητήσουμε, ώστε να συζητήσουμε, είναι η εκφώνηση.
από matha
Τετ Ιουν 24, 2020 9:19 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Άκρες τιμές συνάρτησης!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 636

Άκρες τιμές συνάρτησης!

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης

\displaystyle{\rm \bf f(x)=\sin (\sin ^2x)+\cos (\cos ^2x).}
από matha
Τετ Ιουν 17, 2020 7:43 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Πρόσημο αριθμού υπό συνθήκη!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 616

Πρόσημο αριθμού υπό συνθήκη!

Δίνεται αριθμός $\displaystyle{a\in \mathbb{R}}$, για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{e^a+2a-e=0.}$ Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{b=a^2-(e+2)a+e-1}$ είναι αρνητικός. $\displaystyle{\color{red}\rule{500pt}{3pt}}$ Φανερά το ερώτημα σχετίζεται με τα θέματα των σημερινών εξετάσεων. Ωστόσο τ...
από matha
Δευ Ιουν 15, 2020 7:22 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 947

Διοφαντική!

Διαβάζοντας σήμερα ένα βιβλίο, έπεσα σε μια διοφαντική, η οποία βλέπω ότι είναι λυμένη λάθος. Η αλήθεια είναι ότι δεν έχω "όμορφη" λύση, οπότε σας την παραδίδω.

\displaystyle{\rm x^3-y^3=2005(x^2-y^2).}
από matha
Κυρ Ιουν 14, 2020 10:51 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 465

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα

Ας δούμε μια απόδειξη. Το γινόμενο ισούται με $\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}\frac{2(2k-1)}{k}=2^n\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{n!}.}$ Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{(2n)!=\left(1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)\right)\left(2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)\right)=2^n \left(1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)\rig...
από matha
Παρ Ιουν 12, 2020 5:36 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Από ένα Ρουμάνο στο Τέξας
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 950

Re: Από ένα Ρουμάνο στο Τέξας

T2.png Έμεινε αναπάντητη για μερικές μέρες, οπότε βάζω μια απόδειξη σε αυτή την ανισότητα που αποτέλεσε θέμα του τεστ επιλογής στις Η.Π.Α. για την Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα του 2000 και προτάθηκε από τον Ρουμάνο στο Τέξας, ήτοι τον $\displaystyle{T_2}$. Η απόδειξη σχετίζεται με την απόδειξη της α...
από matha
Παρ Ιουν 12, 2020 4:57 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Γωνία από σχέση πλευρών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 454

Re: Γωνία από σχέση πλευρών

Η συνθήκη γράφεται ως $\displaystyle{f(a)=0,}$ όπου $\displaystyle{f(a)=55a^2+2(21b-56c)a+15b^2-48bc+58c^2.}$ Η διακρίνουσα του τριωνύμου ισούται με $\displaystyle{-24(8b-3c)^2,}$ άρα ισχύει $\displaystyle{8b=3c.}$ Τότε έχουμε $\displaystyle{a=\cdots =\frac{7b}{3},}$ οπότε από την προηγούμενη ισότητ...
από matha
Τρί Μάιος 19, 2020 7:13 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Εξετάσεις GRE και Πανελλαδικές
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 569

Re: Εξετάσεις GRE και Πανελλαδικές

Η ύλη του GRE που αναφέρεται, όπως φαίνεται, αφορά πτυχιούχους. Βλέπουμε αρκετό λογισμό μιας και πολλών μεταβλητών, αρκετή γραμμική άλγεβρα, θεωρία ομάδων, δακτυλίων, σωμάτων κτλ.
Τι σχέση μπορεί να έχει αυτή η εξέταση με την ύλη που διδάσκεται στα σχολεία μας; Αδυνατώ να κάνω τη σύνδεση. :?
από matha
Σάβ Μάιος 16, 2020 7:30 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 1213

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Φαντάζομαι ότι οι θεματοδότες πήραν το θέμα από το βιβλίο του ‎George Pólya, How to Solve it (Πώς να το λύσω) το οποίο είχε κυκλοφορήσει νωρίτερα. Πράγματι, στα προβλήματα που παραθέτει ο συγγραφέας στο τέλος του βιβλίου, το 14ο είναι το εξής: $\displaystyle{\rule{230pt}{5pt}}$ Να βρείτε τις τιμές τ...
από matha
Σάβ Μάιος 16, 2020 11:49 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Σ-Λ
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 754

Re: Σ-Λ

Δεδομένου ότι βρισκόμαστε σε σχολικό φάκελο, τροποποιώ ελαφρώς την πρόταση του Σταύρου και αποδεικνύω το εξής: Πρόταση: Αν $\displaystyle{f:(a,b)\to \mathbb{R}}$ συνάρτηση για την οποία ισχύει $\displaystyle{f(x)f'(x)=0~~\forall x\in (a,b)}$, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή στο $\displaystyle{(a,b).}...
από matha
Πέμ Μάιος 14, 2020 9:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Μέγιστα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 611

Re: Μέγιστα

1)Για $0<x<1,0<y<1$ να βρεθεί το μέγιστο της $\displaystyle K=\frac{x(1-x)y(1-y)}{1-xy}$ Ας είναι $\displaystyle{a=x+y, b=xy,}$ οπότε $\displaystyle{b\in (0,1)}$ και $\displaystyle{a\geq 2\sqrt{b}.}$ Τότε έχουμε $\displaystyle{K=\frac{b(1+b-a)}{1-b}\leq \frac{b(1+b-2\sqrt{b})}{1-b}.}$ Η συνάρτηση $...
από matha
Σάβ Μάιος 09, 2020 9:20 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 700

Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ρητή συνάρτηση \displaystyle{\rm f(x)} με πραγματικούς συντελεστές, ώστε

\displaystyle{\rm f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=P(x),}

όπου \displaystyle{\rm P(x)\in \mathbb{R}[x]} μη σταθερό πολυώνυμο.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση