Ένα από τα θέματα του διαγωνισμού ΑPMO (Asian Pacific Math. Olympiad) του 2004 είναι το κλασικό πλέον $\displaystyle{\color{blue}\boxed{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)}}$ για κάθε $\displaystyle{a,b,c>0.}$ Ας αποδείξουμε το ισχυρότερο $\displaystyle{\color{red}\boxed{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq ...

Κάνω την αρχή! Αν η ζητούμενη ισχύει για όλους τους $\displaystyle{a,b,c\geq 0,}$ θα ισχύει και για τους $\displaystyle{a=1+x,b=1-x, c=0,}$ όπου $\displaystyle{x\in (-1,1).}$ Με αντικατάσταση στην ανισότητα προκύπτει $\displaystyle{\frac{1}{m}\geq \frac{x^3-x}{3x^2+1}}$ (την γράφουμε έτσι για να μην...

Με αφορμή αυτό το θέμα:

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του ακεραίου , ώστε να ισχύει



για κάθε

Λίγο διαφορετικά:

Από τη σχέση

έχουμε



Με αντικατάσταση βρίσκουμε

Γιώργο, ίσως έχεις δίκιο (δεν έλεγξα την απόδειξή σου). Πάντως, η αρχική εκφώνηση είναι όπως την έδωσα.

Πέτυχα τις παρακάτω ισότητες, οι οποίες έχουν το άρωμα του Ramanujan. Δεν επιχείρησα να τις αποδείξω, οπότε τις παραδίδω στο κοινό του :santalogo: . $\displaystyle{\color{red}\boxed{\bf 1}}$ : $\displaystyle{ \quad \frac{\sin (2\pi /7)}{\sin ^2 (3\pi /7)}-\frac{\sin (\pi /7)}{\sin ^2 (2\pi /7)}+\fra...

Χρόνια πολλά mathematica.gr.

Ένα μεγάλο σχολείο!

Μια ακόμα αντιμετώπιση: Από την ανισότητα Jordan γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{\frac{2x}{\pi}<\sin x<x}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}$. Επομένως ισχύει $\displaystyle{\frac{2}{n}<\sin \frac{\pi}{n}<\frac{\pi}{n}.}$ Λόγω των συνθηκών, λαμβάνουμε $\displaystyle{\frac{2}{n...

Έχεις δίκιο Σταύρο ! Έχω γράψει λάθος τη συνάρτηση ... Να δειχθεί ότι η συνάρτηση $f(x)=\sin \alpha x + \sin \frac{\alpha}{\beta} x $ είναι περιοδική όταν $0 \neq \frac{\alpha}{\beta} \in \mathbb{Q}$ με περίοδο $\mathrm{T}=2\pi \beta$. Δεν έχω απάντηση!! Δεν νομίζω να είναι αυτή η συνάρτηση. Απάντη...

Από ΑΜ-ΓΜ είναι $\displaystyle{\sqrt[3]{ab}\leq \frac{a+b+1}{3}}$ και $\displaystyle{\sqrt[3]{a+c}=\frac{\sqrt[3]{2\cdot 2\cdot (a+c)}}{\sqrt[3]{4}}\leq \frac{a+c+4}{3\sqrt[3]{4}}}$. Επομένως, το αριστερό μέλος είναι $\displaystyle{\leq \sum \frac{(a+b+1)(a+c+4)}{9\sqrt[3]{4}}=\frac{a^2+b^2+c^2+3(ab...

Όπως φαίνεται και από την απόδειξη του Αλέξανδρου, πρόκειται για μια χαλαρή ανισότητα. Ας δούμε και την ακόλουθη παρατήρηση. Η αποδεικτέα γράφεται (γιατί;) ως $\displaystyle{\sum \sin B\sin C \leq \sum \cos A+\frac{1}{3}\left (\sum \cos A \right)^2.}$ Λόγω της $\displaystyle{1<\sum \cos A\leq \frac{...

Αν είναι ακέραιος, να αποδείξετε ότι

Γεια σου Γιώργη!

Δεν ξέρω γιατί τοποθέτησες την ανισότητα αυτή στο φάκελο των Διασκεδαστικών Μαθηματικών. Πάντως είναι άμεση εφαρμογή της ανισότητα Cauchy-Schwarz.

Είναι

Ας παρατηρήσουμε ακόμα ότι η ζητούμενη είναι ισοδύναμη με την γνωστότατη σχέση $\displaystyle{\sin 20^o \sin 40^o \sin 80^o =\frac{\sqrt{3}}{8}.}$ ($\displaystyle{\color{red}\bigstar}$) Πράγματι, επειδή ισχύει $\displaystyle{1-\tan ^2 10^o=\frac{\cos 20^o}{\cos ^2 10^o}}$, η αποδεικτέα γράφεται $\di...

Η ανισότητα αυτή σίγουρα δεν είναι κατάλληλη για το επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη. Ουσιαστικά πρόκειται για μια μορφή της ανισότητας Walker, σύμφωνα με την οποία σε κάθε μη αμβλυγώνιο τρίγωνο ισχύει $\displaystyle{s^2\geq 2R^2+8Rr+3r^2.}$ ($\displaystyle{\color{red}\bigstar}$) Αυτό γίνεται φανερό αν πρώτα ...

Ναι, αλλά όχι σύμφωνα με τον σχολικό ορισμό. Σύμφωνα με τον γενικό ορισμό της κυρτότητας, η ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη.

Εχω την εντύπωση οτι η ισοδυναμία $f(x)(f(x)-x_{0}))=0\Leftrightarrow f(x))=0$ η $f(x))=x_{0}$ δεν ισχύει Συνεπώς θα πρέπει ο μαθητής να μην προχωρήσει στην γραφή αυτής της ισοδυναμίας αλλα να δικαιολογήσει την θετικότητα της f(x)καθώς και το αδύνατο της $f(x))=x_{0}$ πριν το ισοδυναμεί Γιατί δεν ε...

Δ3i)

Είναι



γιατί ο λογάριθμος είναι μη αρνητικός και το κλάσμα επίσης.

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι , ώστε το σύστημα



να έχει μοναδική λύση στο την