Από ΑΜ-ΓΜ είναι $\displaystyle{\sqrt[3]{ab}\leq \frac{a+b+1}{3}}$ και $\displaystyle{\sqrt[3]{a+c}=\frac{\sqrt[3]{2\cdot 2\cdot (a+c)}}{\sqrt[3]{4}}\leq \frac{a+c+4}{3\sqrt[3]{4}}}$. Επομένως, το αριστερό μέλος είναι $\displaystyle{\leq \sum \frac{(a+b+1)(a+c+4)}{9\sqrt[3]{4}}=\frac{a^2+b^2+c^2+3(ab...

Όπως φαίνεται και από την απόδειξη του Αλέξανδρου, πρόκειται για μια χαλαρή ανισότητα. Ας δούμε και την ακόλουθη παρατήρηση. Η αποδεικτέα γράφεται (γιατί;) ως $\displaystyle{\sum \sin B\sin C \leq \sum \cos A+\frac{1}{3}\left (\sum \cos A \right)^2.}$ Λόγω της $\displaystyle{1<\sum \cos A\leq \frac{...

Αν είναι ακέραιος, να αποδείξετε ότι

Γεια σου Γιώργη!

Δεν ξέρω γιατί τοποθέτησες την ανισότητα αυτή στο φάκελο των Διασκεδαστικών Μαθηματικών. Πάντως είναι άμεση εφαρμογή της ανισότητα Cauchy-Schwarz.

Είναι

Ας παρατηρήσουμε ακόμα ότι η ζητούμενη είναι ισοδύναμη με την γνωστότατη σχέση $\displaystyle{\sin 20^o \sin 40^o \sin 80^o =\frac{\sqrt{3}}{8}.}$ ($\displaystyle{\color{red}\bigstar}$) Πράγματι, επειδή ισχύει $\displaystyle{1-\tan ^2 10^o=\frac{\cos 20^o}{\cos ^2 10^o}}$, η αποδεικτέα γράφεται $\di...

Η ανισότητα αυτή σίγουρα δεν είναι κατάλληλη για το επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη. Ουσιαστικά πρόκειται για μια μορφή της ανισότητας Walker, σύμφωνα με την οποία σε κάθε μη αμβλυγώνιο τρίγωνο ισχύει $\displaystyle{s^2\geq 2R^2+8Rr+3r^2.}$ ($\displaystyle{\color{red}\bigstar}$) Αυτό γίνεται φανερό αν πρώτα ...

Ναι, αλλά όχι σύμφωνα με τον σχολικό ορισμό. Σύμφωνα με τον γενικό ορισμό της κυρτότητας, η ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη.

Εχω την εντύπωση οτι η ισοδυναμία $f(x)(f(x)-x_{0}))=0\Leftrightarrow f(x))=0$ η $f(x))=x_{0}$ δεν ισχύει Συνεπώς θα πρέπει ο μαθητής να μην προχωρήσει στην γραφή αυτής της ισοδυναμίας αλλα να δικαιολογήσει την θετικότητα της f(x)καθώς και το αδύνατο της $f(x))=x_{0}$ πριν το ισοδυναμεί Γιατί δεν ε...

Δ3i)

Είναι



γιατί ο λογάριθμος είναι μη αρνητικός και το κλάσμα επίσης.

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι , ώστε το σύστημα



να έχει μοναδική λύση στο την

Παρατηρήστε ότι



Αν και τετριμμένο, είναι η ουσία της λύσης.

Αν αναφέρεστε σε θέματα που προτάθηκαν σε άρθρο που υπογράφω εγώ, όχι. Οι λύσεις δεν είναι δημοσιευμένες. Αν χρειάζεστε κάτι συγκεκριμένο, μπορείτε να το γράψετε και να το απαντήσουμε.

Θερμές ευχές στους φίλους που γιορτάζουν σήμερα. Δόρτσιος, Βήττας, Ρεκούμης, πάντα με υγεία!

Όντως, είναι γνωστότατη και απλή. Είναι άμεση συνέπεια της γνωστής

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι , ώστε ο αριθμός



να είναι ακέραιος.

Η συνάρτηση είναι κυρτή, οπότε έχει το πολύ δύο ρίζες. Αυτές είναι οι

Η ζητούμενη γράφεται ως $\displaystyle{x^2y\leq 1.}$ Υποθέτουμε ότι δεν ισχύει αυτή, οπότε θα είναι $\displaystyle{y>\frac{1}{x^2}.}$ Από Cauchy-Schwarz έχουμε $\displaystyle{x^2+y^2+x\geq x^4+y^4+x^3\geq \frac{(x^2+y^2+x)^2}{2+\frac{1}{x}}\implies 2+\frac{1}{x}\geq x^2+y^2+x.}$ Τότε, λόγω της υπόθε...

Η σχέση γράφεται $\displaystyle{(x+7)P(2x)=8xP(x+1)}$ και επειδή ισχύει για άπειρες τιμές του $\displaystyle{x}$, ισχύει για κάθε $\displaystyle{x.}$ Θέτοντας $\displaystyle{x=0,x=-7, x=-1}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{P(0)=P(-6)=P(-2)=0.}$ Άρα $\displaystyle{P(x)=x(x+2)(x+6)Q(x).}$ Τότε η σχέση γράφε...

Μια απλούστερη απόδειξη βασίζεται στο ότι ισχύει $\displaystyle{1+\frac{r}{R}=\cos A+\cos B+\cos C,}$ οπότε, επειδή είναι, $\displaystyle{\cos A+\cos B=2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{B-C}{2}\leq 2\sin \frac{C}{2}}$ προκύπτει $\displaystyle{\cos A+\cos B+\cos C\leq \sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin...