Η αναζήτηση βρήκε 6007 εγγραφές

από matha
Παρ Νοέμ 22, 2019 11:22 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο παράστασης
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 327

Re: Μέγιστο παράστασης

Από ΑΜ-ΓΜ είναι $\displaystyle{\sqrt[3]{ab}\leq \frac{a+b+1}{3}}$ και $\displaystyle{\sqrt[3]{a+c}=\frac{\sqrt[3]{2\cdot 2\cdot (a+c)}}{\sqrt[3]{4}}\leq \frac{a+c+4}{3\sqrt[3]{4}}}$. Επομένως, το αριστερό μέλος είναι $\displaystyle{\leq \sum \frac{(a+b+1)(a+c+4)}{9\sqrt[3]{4}}=\frac{a^2+b^2+c^2+3(ab...
από matha
Κυρ Νοέμ 17, 2019 8:21 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ο495 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 327

Re: Ο495 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Όπως φαίνεται και από την απόδειξη του Αλέξανδρου, πρόκειται για μια χαλαρή ανισότητα. Ας δούμε και την ακόλουθη παρατήρηση. Η αποδεικτέα γράφεται (γιατί;) ως $\displaystyle{\sum \sin B\sin C \leq \sum \cos A+\frac{1}{3}\left (\sum \cos A \right)^2.}$ Λόγω της $\displaystyle{1<\sum \cos A\leq \frac{...
από matha
Τετ Νοέμ 13, 2019 6:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διαιρετότητα με το 1989
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 328

Διαιρετότητα με το 1989

Αν \displaystyle{n\geq 3} είναι ακέραιος, να αποδείξετε ότι

\displaystyle{1989|\Bigleft (n^{n^{n^n}}-n^{n^{n}}\Bigright)}
από matha
Δευ Οκτ 21, 2019 11:00 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Απλή ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 353

Re: Απλή ανισότητα

Γεια σου Γιώργη!

Δεν ξέρω γιατί τοποθέτησες την ανισότητα αυτή στο φάκελο των Διασκεδαστικών Μαθηματικών. Πάντως είναι άμεση εφαρμογή της ανισότητα Cauchy-Schwarz.
από matha
Κυρ Οκτ 06, 2019 8:58 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Κυριακάτικη ενόχληση
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 358

Re: Κυριακάτικη ενόχληση

Είναι

\displaystyle{\delta _{a}=\frac{2bc}{b+c}\cos \frac{A}{2}=\frac{2\cdot 20\cdot 35}{20+35}\cos 45^o=\frac{140}{11}\sqrt{2}=17,99908...}
από matha
Πέμ Ιούλ 04, 2019 2:06 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Η σαραντάρα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 687

Re: Η σαραντάρα

Ας παρατηρήσουμε ακόμα ότι η ζητούμενη είναι ισοδύναμη με την γνωστότατη σχέση $\displaystyle{\sin 20^o \sin 40^o \sin 80^o =\frac{\sqrt{3}}{8}.}$ ($\displaystyle{\color{red}\bigstar}$) Πράγματι, επειδή ισχύει $\displaystyle{1-\tan ^2 10^o=\frac{\cos 20^o}{\cos ^2 10^o}}$, η αποδεικτέα γράφεται $\di...
από matha
Τρί Ιούλ 02, 2019 8:27 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Τριγωνομετρική ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 479

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

Η ανισότητα αυτή σίγουρα δεν είναι κατάλληλη για το επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη. Ουσιαστικά πρόκειται για μια μορφή της ανισότητας Walker, σύμφωνα με την οποία σε κάθε μη αμβλυγώνιο τρίγωνο ισχύει $\displaystyle{s^2\geq 2R^2+8Rr+3r^2.}$ ($\displaystyle{\color{red}\bigstar}$) Αυτό γίνεται φανερό αν πρώτα ...
από matha
Δευ Ιουν 17, 2019 4:04 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
Θέμα: Κυρτότητα ευθείας
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 693

Re: Κυρτότητα ευθείας

Ναι, αλλά όχι σύμφωνα με τον σχολικό ορισμό. Σύμφωνα με τον γενικό ορισμό της κυρτότητας, η ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη.
από matha
Παρ Ιουν 14, 2019 9:45 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 57
Προβολές: 8391

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Εχω την εντύπωση οτι η ισοδυναμία $f(x)(f(x)-x_{0}))=0\Leftrightarrow f(x))=0$ η $f(x))=x_{0}$ δεν ισχύει Συνεπώς θα πρέπει ο μαθητής να μην προχωρήσει στην γραφή αυτής της ισοδυναμίας αλλα να δικαιολογήσει την θετικότητα της f(x)καθώς και το αδύνατο της $f(x))=x_{0}$ πριν το ισοδυναμεί Γιατί δεν ε...
από matha
Δευ Ιουν 10, 2019 10:56 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 57
Προβολές: 8391

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Δ3i)

Είναι

\displaystyle{f'(x)=\ln (x^2-2x+2)+(x-1)\cdot \frac{2x-2}{x^2-2x+2}-1=\ln ((x-1)^2+1)+\frac{2(x-1)^2}{(x-1)^2+1}-1\geq -1}

γιατί ο λογάριθμος είναι μη αρνητικός και το κλάσμα επίσης.
από matha
Σάβ Ιουν 08, 2019 8:22 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Σύστημα με μοναδική λύση!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 572

Σύστημα με μοναδική λύση!

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι \displaystyle{n}, ώστε το σύστημα

\displaystyle{\begin{cases}x+y+z=3, \\ x^2+y^2+z^2 =3, \\ x^n+y^n+z^n =3\end{cases}}

να έχει μοναδική λύση στο \displaystyle{\mathbb{C}^3} την \displaystyle{(1,1,1).}
από matha
Σάβ Ιουν 08, 2019 7:34 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Περιοδικό Μελέτη
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 689

Re: Περιοδικό Μελέτη

Παρατηρήστε ότι

\displaystyle{\frac{k-1}{k!}=\frac{k}{k!}-\frac{1}{k!}.}

Αν και τετριμμένο, είναι η ουσία της λύσης.
από matha
Σάβ Ιουν 08, 2019 11:19 am
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Περιοδικό Μελέτη
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 689

Re: Περιοδικό Μελέτη

Αν αναφέρεστε σε θέματα που προτάθηκαν σε άρθρο που υπογράφω εγώ, όχι. Οι λύσεις δεν είναι δημοσιευμένες. Αν χρειάζεστε κάτι συγκεκριμένο, μπορείτε να το γράψετε και να το απαντήσουμε.
από matha
Τετ Μάιος 22, 2019 12:17 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κωνσταντίνου - Ελένης
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 798

Re: Κωνσταντίνου - Ελένης

Θερμές ευχές στους φίλους που γιορτάζουν σήμερα. Δόρτσιος, Βήττας, Ρεκούμης, πάντα με υγεία!
από matha
Παρ Μάιος 17, 2019 12:31 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: J478 MATHEMATICAL REFLECTIONS
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 421

Re: J478 MATHEMATICAL REFLECTIONS

Όντως, είναι γνωστότατη και απλή. Είναι άμεση συνέπεια της γνωστής

\displaystyle{\ell _a \leq \sqrt{s(s-a)}.}
από matha
Παρ Μάιος 10, 2019 11:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μια διαιρετότητα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 472

Μια διαιρετότητα!

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι \displaystyle{n}, ώστε ο αριθμός

\displaystyle{\frac{10^n}{n^3+n^2+n+1}}

να είναι ακέραιος.
από matha
Πέμ Μάιος 09, 2019 10:18 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Μια εξίσωση.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 537

Re: Μια εξίσωση.

Η συνάρτηση \displaystyle{5^x-3^x-8\sqrt{2x}, x\geq 0} είναι κυρτή, οπότε έχει το πολύ δύο ρίζες. Αυτές είναι οι \displaystyle{0,2.}
από matha
Τετ Απρ 24, 2019 11:08 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 628

Re: Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)

Η ζητούμενη γράφεται ως $\displaystyle{x^2y\leq 1.}$ Υποθέτουμε ότι δεν ισχύει αυτή, οπότε θα είναι $\displaystyle{y>\frac{1}{x^2}.}$ Από Cauchy-Schwarz έχουμε $\displaystyle{x^2+y^2+x\geq x^4+y^4+x^3\geq \frac{(x^2+y^2+x)^2}{2+\frac{1}{x}}\implies 2+\frac{1}{x}\geq x^2+y^2+x.}$ Τότε, λόγω της υπόθε...
από matha
Τρί Απρ 23, 2019 12:25 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 511

Re: Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου

Η σχέση γράφεται $\displaystyle{(x+7)P(2x)=8xP(x+1)}$ και επειδή ισχύει για άπειρες τιμές του $\displaystyle{x}$, ισχύει για κάθε $\displaystyle{x.}$ Θέτοντας $\displaystyle{x=0,x=-7, x=-1}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{P(0)=P(-6)=P(-2)=0.}$ Άρα $\displaystyle{P(x)=x(x+2)(x+6)Q(x).}$ Τότε η σχέση γράφε...
από matha
Τρί Απρ 16, 2019 9:27 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΑ ΑΠΟ ΤΟ ΠΟΥΘΕΝΑ...
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 546

Re: ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΑ ΑΠΟ ΤΟ ΠΟΥΘΕΝΑ...

Μια απλούστερη απόδειξη βασίζεται στο ότι ισχύει $\displaystyle{1+\frac{r}{R}=\cos A+\cos B+\cos C,}$ οπότε, επειδή είναι, $\displaystyle{\cos A+\cos B=2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{B-C}{2}\leq 2\sin \frac{C}{2}}$ προκύπτει $\displaystyle{\cos A+\cos B+\cos C\leq \sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση