Με δεδομένο την ανισότητα $\displaystyle{\boxed{\cos ^2 \frac{B-C}{2}\geq \frac{2r}{R}}}$ ($\displaystyle{\color{red}\bigstar}$) είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\sqrt{\frac{2r}{R}}(a^2+b^2+c^2)\geq 4\sqrt{3}E,}$ δηλαδή ότι $\displaystyle{a^2+b^2+c^2\geq \sqrt{24s^2Rr}}$ που γράφεται ω...

Πολλά συγχαρητήρια σε όλους!

Θέτουμε $\displaystyle{q:=2\sin x\cos x,}$ όποτε $\displaystyle{|q|\leq 1}$ και το πρόβλημα μεταφράζεται στο εξής: Να βρεθούν οι τιμές του $\displaystyle{a}$, ώστε να ισχύει $\displaystyle{aq<2-q^2}$ για κάθε $\displaystyle{q}$ του $\displaystyle{[-1,1].}$ Για θετικά $\displaystyle{a}$ η συνθήκη γρά...

Να βρεθεί ο 2χ2 πίνακας Μ ώστε $\displaystyle M^2=\begin{bmatrix}33 & 44 \\66 & 88 \end{bmatrix}$ Αλλιώς, από το θεώρημα Cayley-Hamilton και επειδή ο $\displaystyle{M}$ είναι φανερά μη αντιστρέψιμος, έχουμε $\displaystyle{M^2=(tr M)M}$. Αν λοιπόν είναι $\displaystyle M=\begin{bmatrix}a & b \\c & d ...

Η ανισότητα ισχύει! Πρόκειται για την ανισότητα Kooi, η οποία είναι αρκετά σφιχτή ανισότητα και ισοδύναμες μορφές της είναι οι παρακάτω: $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ $\displaystyle{s^2\leq \frac{R(4R+r)^2}{2(2R-r)}}$ $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ $\displaystyle{\frac{\cos ^2 A}{1+\cos...

Από το θεώρημα τεμνόμενων χορδών βρίσκουμε αμέσως ότι $\displaystyle{DZ=\frac{b^2}{4m_b},~~EH=\frac{c^2}{4m_c}.}$ Δεδομένου ότι ισχύει η ισοδυναμία $\displaystyle{x\geq y\iff m_x\leq m_y,}$ έχουμε $\displaystyle{DZ=EH\implies \frac{b^2}{m_b}=\frac{c^2}{m_c}\implies \left(\frac{b}{c}\right)^2=\frac{m...

Pantelis.N έγραψε: ↑

Δευ Ιουν 29, 2020 6:57 pm

Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε

Από Cauchy-Schwarz παίρνουμε

Άρα αρκεί που ισχύει εφόσον

Η λύση σου έχει πρόβλημα. Βρες το και αν χρειαστείς βοήθεια, εδώ είμαστε.

Θέτουμε $\displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{2x-1}, x\geq \frac{1}{2}.}$ Τότε είναι φανερά $\displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{x^3+1}{2}, x\geq 0}$ και η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{f(x)=f^{-1}(x).}$ Επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{f(x)=x,x\g...

Νομίζω το ελάχιστο που μπορούμε να ζητήσουμε, ώστε να συζητήσουμε, είναι η εκφώνηση.

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης

Δίνεται αριθμός $\displaystyle{a\in \mathbb{R}}$, για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{e^a+2a-e=0.}$ Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{b=a^2-(e+2)a+e-1}$ είναι αρνητικός. $\displaystyle{\color{red}\rule{500pt}{3pt}}$ Φανερά το ερώτημα σχετίζεται με τα θέματα των σημερινών εξετάσεων. Ωστόσο τ...

Διαβάζοντας σήμερα ένα βιβλίο, έπεσα σε μια διοφαντική, η οποία βλέπω ότι είναι λυμένη λάθος. Η αλήθεια είναι ότι δεν έχω "όμορφη" λύση, οπότε σας την παραδίδω.

Ας δούμε μια απόδειξη. Το γινόμενο ισούται με $\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}\frac{2(2k-1)}{k}=2^n\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{n!}.}$ Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{(2n)!=\left(1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)\right)\left(2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)\right)=2^n \left(1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)\rig...

T2.png Έμεινε αναπάντητη για μερικές μέρες, οπότε βάζω μια απόδειξη σε αυτή την ανισότητα που αποτέλεσε θέμα του τεστ επιλογής στις Η.Π.Α. για την Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα του 2000 και προτάθηκε από τον Ρουμάνο στο Τέξας, ήτοι τον $\displaystyle{T_2}$. Η απόδειξη σχετίζεται με την απόδειξη της α...

Η συνθήκη γράφεται ως $\displaystyle{f(a)=0,}$ όπου $\displaystyle{f(a)=55a^2+2(21b-56c)a+15b^2-48bc+58c^2.}$ Η διακρίνουσα του τριωνύμου ισούται με $\displaystyle{-24(8b-3c)^2,}$ άρα ισχύει $\displaystyle{8b=3c.}$ Τότε έχουμε $\displaystyle{a=\cdots =\frac{7b}{3},}$ οπότε από την προηγούμενη ισότητ...

Η ύλη του GRE που αναφέρεται, όπως φαίνεται, αφορά πτυχιούχους. Βλέπουμε αρκετό λογισμό μιας και πολλών μεταβλητών, αρκετή γραμμική άλγεβρα, θεωρία ομάδων, δακτυλίων, σωμάτων κτλ.
Τι σχέση μπορεί να έχει αυτή η εξέταση με την ύλη που διδάσκεται στα σχολεία μας; Αδυνατώ να κάνω τη σύνδεση.

Φαντάζομαι ότι οι θεματοδότες πήραν το θέμα από το βιβλίο του ‎George Pólya, How to Solve it (Πώς να το λύσω) το οποίο είχε κυκλοφορήσει νωρίτερα. Πράγματι, στα προβλήματα που παραθέτει ο συγγραφέας στο τέλος του βιβλίου, το 14ο είναι το εξής: $\displaystyle{\rule{230pt}{5pt}}$ Να βρείτε τις τιμές τ...

Δεδομένου ότι βρισκόμαστε σε σχολικό φάκελο, τροποποιώ ελαφρώς την πρόταση του Σταύρου και αποδεικνύω το εξής: Πρόταση: Αν $\displaystyle{f:(a,b)\to \mathbb{R}}$ συνάρτηση για την οποία ισχύει $\displaystyle{f(x)f'(x)=0~~\forall x\in (a,b)}$, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή στο $\displaystyle{(a,b).}...

1)Για $0<x<1,0<y<1$ να βρεθεί το μέγιστο της $\displaystyle K=\frac{x(1-x)y(1-y)}{1-xy}$ Ας είναι $\displaystyle{a=x+y, b=xy,}$ οπότε $\displaystyle{b\in (0,1)}$ και $\displaystyle{a\geq 2\sqrt{b}.}$ Τότε έχουμε $\displaystyle{K=\frac{b(1+b-a)}{1-b}\leq \frac{b(1+b-2\sqrt{b})}{1-b}.}$ Η συνάρτηση $...

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ρητή συνάρτηση με πραγματικούς συντελεστές, ώστε



όπου μη σταθερό πολυώνυμο.