Pantelis.N έγραψε: ↑

Δευ Ιουν 29, 2020 6:57 pm

Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε

Από Cauchy-Schwarz παίρνουμε

Άρα αρκεί που ισχύει εφόσον

Η λύση σου έχει πρόβλημα. Βρες το και αν χρειαστείς βοήθεια, εδώ είμαστε.

Θέτουμε $\displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{2x-1}, x\geq \frac{1}{2}.}$ Τότε είναι φανερά $\displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{x^3+1}{2}, x\geq 0}$ και η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{f(x)=f^{-1}(x).}$ Επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{f(x)=x,x\g...

Νομίζω το ελάχιστο που μπορούμε να ζητήσουμε, ώστε να συζητήσουμε, είναι η εκφώνηση.

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης

Δίνεται αριθμός $\displaystyle{a\in \mathbb{R}}$, για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{e^a+2a-e=0.}$ Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{b=a^2-(e+2)a+e-1}$ είναι αρνητικός. $\displaystyle{\color{red}\rule{500pt}{3pt}}$ Φανερά το ερώτημα σχετίζεται με τα θέματα των σημερινών εξετάσεων. Ωστόσο τ...

Διαβάζοντας σήμερα ένα βιβλίο, έπεσα σε μια διοφαντική, η οποία βλέπω ότι είναι λυμένη λάθος. Η αλήθεια είναι ότι δεν έχω "όμορφη" λύση, οπότε σας την παραδίδω.

Ας δούμε μια απόδειξη. Το γινόμενο ισούται με $\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}\frac{2(2k-1)}{k}=2^n\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{n!}.}$ Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{(2n)!=\left(1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)\right)\left(2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)\right)=2^n \left(1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)\rig...

T2.png Έμεινε αναπάντητη για μερικές μέρες, οπότε βάζω μια απόδειξη σε αυτή την ανισότητα που αποτέλεσε θέμα του τεστ επιλογής στις Η.Π.Α. για την Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα του 2000 και προτάθηκε από τον Ρουμάνο στο Τέξας, ήτοι τον $\displaystyle{T_2}$. Η απόδειξη σχετίζεται με την απόδειξη της α...

Η συνθήκη γράφεται ως $\displaystyle{f(a)=0,}$ όπου $\displaystyle{f(a)=55a^2+2(21b-56c)a+15b^2-48bc+58c^2.}$ Η διακρίνουσα του τριωνύμου ισούται με $\displaystyle{-24(8b-3c)^2,}$ άρα ισχύει $\displaystyle{8b=3c.}$ Τότε έχουμε $\displaystyle{a=\cdots =\frac{7b}{3},}$ οπότε από την προηγούμενη ισότητ...

Η ύλη του GRE που αναφέρεται, όπως φαίνεται, αφορά πτυχιούχους. Βλέπουμε αρκετό λογισμό μιας και πολλών μεταβλητών, αρκετή γραμμική άλγεβρα, θεωρία ομάδων, δακτυλίων, σωμάτων κτλ.
Τι σχέση μπορεί να έχει αυτή η εξέταση με την ύλη που διδάσκεται στα σχολεία μας; Αδυνατώ να κάνω τη σύνδεση.

Φαντάζομαι ότι οι θεματοδότες πήραν το θέμα από το βιβλίο του ‎George Pólya, How to Solve it (Πώς να το λύσω) το οποίο είχε κυκλοφορήσει νωρίτερα. Πράγματι, στα προβλήματα που παραθέτει ο συγγραφέας στο τέλος του βιβλίου, το 14ο είναι το εξής: $\displaystyle{\rule{230pt}{5pt}}$ Να βρείτε τις τιμές τ...

Δεδομένου ότι βρισκόμαστε σε σχολικό φάκελο, τροποποιώ ελαφρώς την πρόταση του Σταύρου και αποδεικνύω το εξής: Πρόταση: Αν $\displaystyle{f:(a,b)\to \mathbb{R}}$ συνάρτηση για την οποία ισχύει $\displaystyle{f(x)f'(x)=0~~\forall x\in (a,b)}$, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή στο $\displaystyle{(a,b).}...

1)Για $0<x<1,0<y<1$ να βρεθεί το μέγιστο της $\displaystyle K=\frac{x(1-x)y(1-y)}{1-xy}$ Ας είναι $\displaystyle{a=x+y, b=xy,}$ οπότε $\displaystyle{b\in (0,1)}$ και $\displaystyle{a\geq 2\sqrt{b}.}$ Τότε έχουμε $\displaystyle{K=\frac{b(1+b-a)}{1-b}\leq \frac{b(1+b-2\sqrt{b})}{1-b}.}$ Η συνάρτηση $...

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ρητή συνάρτηση με πραγματικούς συντελεστές, ώστε



όπου μη σταθερό πολυώνυμο.

Να υπολογίσετε το άθροισμα

Το πρόβλημα αυτό είναι του Laurențiu Panaitopol (1940-2008), γνωστού Ρουμάνου μαθηματικού σε σχέση με μαθηματικούς διαγωνισμούς. Το πρόβλημα αποτέλεσε μάλιστα το 4ο θέμα στο τεστ επιλογής της Ρουμανίας για την Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα του 1987. Η απόδειξη που έχω είναι σχεδόν ίδια με αυτήν στην π...

Έστω $\displaystyle{P(x)=a_n x^n +a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1 x+a_0,~a_n>0, a_0> 0}$, πολυώνυμο άρτιου βαθμού, για το οποίο ισχύει $\displaystyle{a_1 ^2+a_2 ^2 +\cdots a_{n-1}^2\leq \frac{4\min (a_0,a_n)^2}{n-1}}$. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{P(x)\geq 0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση.
Αθανάσιος Μάγκος, Μαθηματικός.

Ακριβώς! Εξ ου και η έμπνευση.

Δίνεται ο ακέραιος



Να γραφεί ως γινόμενο δύο ακέραιων