Θεωρώ τον μιγαδικό $\displaystyle{z=(a+i)(b+2i)(c+3i),}$ για τον οποίο δίνεται ότι $\displaystyle{z\bar{z}\leq 100}$. Είναι $\displaystyle{z=(abc-6a-3b-2c)+(3ab+2ac+bc-6)i}$, οπότε $\displaystyle{z\bar{z}=(abc-6a-3b-2c)^2+(3ab+2ac+bc-6)^2}$. Επομένως έχουμε $\displaystyle{(abc-6a-3b-2c)^2+(3ab+2ac+b...

Να υπολογιστεί το άθροισμα $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n \cdot 5^n}{\left ( 5^n - 3^n \right ) \left ( 5^{n+1} - 3^{n+1} \right )}}$. Ισχύει $\displaystyle{ \frac{3^n \cdot 5^n}{\left ( 5^n - 3^n \right ) \left ( 5^{n+1} - 3^{n+1} \right )}=\frac{1}{2}\left(\frac{5^n}{5^n-3^n}-\frac{...

Το υπόρριζο είναι το

, για , οπότε





Άρα ο αριθμός ισούται με .

Αλλιώς: Το ζητούμενο μεταφράζεται στο εξής: Αν $\displaystyle{x=\angle (\vec{a},\vec{b}), y=\angle (\vec{b},\vec{c}), z=\angle (\vec{c},\vec{a})}$ $\displaystyle{x+y+z=2\pi \wedge \cos x+\cos y+\cos z=-1\implies x+y=\pi \lor y+z=\pi \lor z+x=\pi}$. Αυτό είναι άμεσο από την ταυτότητα $\displaystyle{\...

Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Ιάσωνα για την λύση και το χρόνο του. Για την ιστορία η άσκηση είναι από την ολυμπιάδα "Υψηλά πρότυπα" για το έτος 2021/22 , του πανεπιστημίου Ανώτατη Σχολή Οικονομικών (Ρωσία). Ενδιαφέρον, δεδομένου ότι το 2006 σε τεστ επιλογής της Βουλγαρίας για την Διεθνή Μαθηματική Ο...

Στην πραγματικότητα είναι το εξής:

Αν η είναι κυρτή στο τότε το μέγιστό της είναι το , το οποίο, αν και προφανές διαισθητικά, θέλει απόδειξη.

Μάλλον έχετε αντιληφθεί λάθος τι σημαίνει διασκεδαστικά μαθηματικά.

Χωρίς λογισμό: Ας είναι $\displaystyle{\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1}$ η έλλειψη και ας είναι $\displaystyle{K(A\sin a, B\cos a), L(A\sin b, B\cos b), M(A\sin c, B\cos c)}$ τρία σημεία αυτής. Από τη γνωστή σχέση $\displaystyle{(KLM)=\frac{1}{2} |\left|\displaystyle {\begin{array}{*{20}{c}} x_K&y...

Έχοντας περάσει μία εβδομάδα γεμάτη refresh στο site στης Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρίας, έχω να πω οτι τα χέρια μου κοντεύουν να βγάλουν φούσκες...Ας μην μας αφήνουν στην αγωνία αν δεν χρειάζεται και αν υπάρχει κάποιο πρόβλημα στην βαθμολόγηση θα ήταν καλό να λυθεί το συντομότερο δυνατόν.Πραγματικ...

Με την παρατήρηση ότι , η εξίσωση γράφεται

και τα υπόλοιπα είναι απλά.

Αποδεικνύονται αμέσως και με απλή χρήση της ανισότητας ΑΜ-ΓΜ. Π.χ. για την πρώτη: $\displaystyle{a^4+3b^4>4|ab^3|\geq 4ab^3}$ $\displaystyle{b^4+3c^4>4|bc^3|\geq 4bc^3}$ $\displaystyle{c^4+3d^4>4|cd^3|\geq 4cd^3.}$ Με πρόσθεση λαμβάνουμε το ζητούμενο. Από την απόδειξη αυτή φαίνεται ότι η διάταξη δεν...

Ωστόσο, στο η έχει κατακόρυφη εφαπτομένη, οπότε αυτή η περίπτωση δεν αφορά τους μαθητές. Υποθέτω για αυτόν τον λόγο το θέμα τοποθετήθηκε στο συγκεκριμένο φάκελο.

Τι; ευχές μου στον Μπάμπη, με υγεία!

Για $\displaystyle{a=3}$ θα θέλαμε να ισχύει $\displaystyle{3\sin x+\tan x\geq 4x}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)}$, η οποία όμως αποτυγχάνει στο $\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$. Για το δεύτερο ερώτημα: Κάθε τέτοιο $\displaystyle{a}$ θα ικανοποιεί την συνθήκη $\displaysty...

Πάντως δεν μπορεί να αποφύγει κάνεις να παρατηρήσει την ισχυρή παρουσία των ιδιωτικών σχολείων... :!: Δείτε εδώ . Ισχύει αυτό που λέτε. Αλλά σίγουρα δεν έχει απαραίτητα σχέση με διαφορά ποιότητας μαθήματος. Εννοείται! Οι λόγοι πρέπει να αναζητηθούν αλλού. Λ.χ. στο γεγονός ότι είναι πάγια τακτική με...

Με χρήση της $\displaystyle{h_a=\frac{2E}{a}}$, όπου $\displaystyle{E}$ το εμβαδόν, η ζητούμενη γράφεται $\displaystyle{\sum \frac{1}{c}\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2ab}}\leq \frac{\sqrt{3}R}{4r^2}.}$ Λόγω της ανισότητας του Τσίντσιφα (βλ. American Mathematical Monthly, Problem E2471) $\displaystyle{\boxed{...

Υποθέτω ότι επειδή είναι στον φάκελο Θαλή/Ευκλείδη υπάρχει κάτι απλούστερο, αλλά γράφω τη λύση που σκέφτηκα με το που είδα το πρόβλημα. Το ζητούμενο είναι το $\displaystyle{M=\prod_{k=0}^{14}\sin a_k}$, όπου $\displaystyle{a_k=\frac{(6k+1)\pi}{45}}$. Ας είναι $\displaystyle{x_k=\cos a_k+i\sin a_k,}$...

Η σχέση γράφεται ως

,

οπότε για το πολυώνυμο ισχύει Τότε ως γνωστόν είναι

Από τον νόμο των συνημιτόνων στα τρίγωνα $\displaystyle{ABD,BCD}$ έχουμε αντίστοιχα $\displaystyle{BD^2=4^2+5^2-2\cdot 4\cdot 5\cos A}$ και $\displaystyle{BD^2=6^2+5^2-2\cdot 5\cdot 6\cos C.}$ Από αυτές και επειδή $\displaystyle{\cos A=-\cos C}$ βρίσκουμε $\displaystyle{\cos C=\frac{1}{5}.}$ Όμως $\...

Είναι και .

Πώς θα αποδείξουμε ότι ;