Καλησπέρα έκανα μια απόπειρα να λύσω το πρόβλημα σας και βρήκα μια λύση δεν είμαι σίγουρος αν υπαρχουν κι' άλλες.Η απόδειξη που έκανα είναι στο παρακάτω link: https://m.facebook.com/groups/218401806149797?view=permalink&id=218494759473835 Δεν καταλαβαίνω. Αν θέλεις να βάλεις λύση μπορείς να το κάνε...

Με αφορμή την δεύτερη εξίσωση εδώ, μια παρόμοιου ύφους, αλλά σαφώς δυσκολότερη:

Να λυθεί στους φυσικούς η εξίσωση

ΘΕΜΑ 3 Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2} $ όταν τα $x$ και $y$ διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Το ελάχιστο είναι το $\displaystyle{1}$ ως άμεση εφαρμογή της ανισότητας Cauchy-Schwarz και πιάνεται όταν...

ΑΣΚΗΣΗ 1. Να βρεθούν όλα τα $k \in \mathbb{R}$, τα οποία ικανοποιούν τη σχέση $4^k+6^k=9^k$. ΑΣΚΗΣΗ 2. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη $(x,y)$ με $x,y\in\mathbb{Z}$, τα οποία ικανοποιούν τη σχέση $615+x^2=2^y$. Πρόκειται για δύο άσχετες τελείως ασκήσεις. :? :? Με $\displaystyle{\mod 3}$ έχουμε $\displaysty...

Άσκηση 38 Έστω $a,b,c,d$ πραγματικοί αριθμοί με $ad>0$ και έστω $\rho$ πραγματική ρίζα της εξίσωσης $ax^3+bx^2+cx+d=0$. Δείξτε ότι $\displaystyle{\rho \le \dfrac {c^2-4bd}{4ad} }$ Σχόλιο: Αναρτώ την άσκηση μόνο και μόνο για την τεχνική. Λύνεται σε μια-δυο γραμμές, αλλά μπορεί και να σε παιδέψει αν ...

Απαντάω στο ερώτημα 1. Ας είναι $\displaystyle{x-y=a,}$ οπότε $\displaystyle{x=y+a}$, η εξίσωση γράφεται, μετά από κατάλληλους μετασχηματισμούς, ως $\displaystyle{a(1+6a)=(y-2a)^2.}$ Επειδή ισχύει $\displaystyle{(1,1+6a)=1}$ έπεται το ζητούμενο. Ας είναι τώρα $\displaystyle{2x+2y+1=m}$, οπότε $\disp...

Τα Quickies τα έχουμε ξανασυναντήσει π.χ. εδώ.

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

Χρόνια πολλά στον Βαγγέλη!

Χρήστο, χαιρετώ! Πρώτα λύνουμε την εξίσωση $\displaystyle{k^2+\ell ^2=53,}$ από την οποία προκύπτει η αρχική αν θέσουμε $\displaystyle{k\to 2x+5, \ell \to 2y.}$ Θέλουμε τα ρητά σημεία του κύκλου $\displaystyle{k^2+\ell ^2=53.}$ Ένα τέτοιο είναι το $\displaystyle{(7,2)}$. Με τη μέθοδο που περιγράφετα...

Αυτό που λέει η παραπάνω απόδειξη είναι ότι $\displaystyle{\boxed{(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^2=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}}$, το οποίο φυσικά είναι άμεση συνέπεια της ταυτότητας $\displaystyle{\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)}=...

Ας παρατηρήσουμε ακόμα ότι είναι ισοδύναμη με την

ΘΕΜΑ 3 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης $5^x = 1+4y+y^4 .$ Αρχικά ελέγχουμε τις περιπτώσεις $\displaystyle{y=-2,-1,0,1,2}$ και διαπιστώνουμε ότι προκύπτουν οι λύσεις $\displaystyle{(0,0),(2,2).}$ Θα αποδείξουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες. Καταρχάς θα αποδείξουμε ότι ο $\displaystyle{x}$ είναι...

Δίνεται η ακολουθία με και , .

Να βρεθούν όλες οι τιμές του ώστε όλοι οι όροι της ακολουθίας να είναι ακέραιοι.

Μετά τη διαιρετότητα με το 1989, ακολουθεί μια με το 2020.

Αν θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι o



διαιρείται με το

ΘΕΜΑ 4 Να αποδείξετε ότι $\displaystyle a^2b^2(a^2+b^2-2) \geq (a+b)(ab-1) ,$ για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a$ και $b.$ Θέτοντας $\displaystyle{a+b=x>0, ab=y>0}$ είναι $\displaystyle{x\geq 2\sqrt{y}}$ και έχουμε να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{y^2(x^2-2y-2)\geq x(y-1)}$ δηλαδή ότ...

socrates έγραψε: ↑

Τετ Φεβ 26, 2020 12:47 am

ΘΕΜΑ 1
Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι τέτοιοι ώστε

Η σχέση γράφεται



και βλέπουμε ότι ένα τετράγωνο είναι ισότιμο με , ενώ

ΘΕΜΑ 3 Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί $x$, $y$, $z$ είναι τέτοιοι ώστε $x+y+z=2.$ Να δείξετε ότι $\displaystyle{ \frac{(x-1)^2}{y}+\frac{(y-1)^2}{z}+\frac{(z-1)^2}{x}\geqslant\frac14\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x} \right). }$ Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\sum ...

Θεωρούμε την εξίσωση $\displaystyle{x^3-3x-p=0}$ και ορίζουμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(p)=\begin{cases}\textrm {\gr το γινόμενο της μικρότερης και της μεγαλύτερης ρίζας, αν η εξίσωση έχει τρεις πραγματικές ρίζες,} \\ \\ \textrm{\gr το τετράγωνο της ρίζας, αν η εξίσωση έχει μία μόνο πραγματική ρ...

Υποθέτω ότι οι είναι πραγματικοί.

Είναι



Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο βρίσκουμε ότι

Άρα ο ζητούμενος λόγος ισούται με .

Ένα από τα θέματα του διαγωνισμού ΑPMO (Asian Pacific Math. Olympiad) του 2004 είναι το κλασικό πλέον $\displaystyle{\color{blue}\boxed{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)}}$ για κάθε $\displaystyle{a,b,c>0.}$ Ας αποδείξουμε το ισχυρότερο $\displaystyle{\color{red}\boxed{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq ...