Για το πρώτο ερώτημα:
Θέτω $A = \int\limits_a^b {f(\tan x)dx}$.
Ακόμα θέτω:
$\begin{array}{l}
u = \tan x \\
\frac{{du}}{{dx}} = \frac{1}{{\cos ^2 x}} \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{du}} = \frac{1}{{u^2 + 1}} \\
u(a) = \tan a,u(b) = \tan b = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) = \cot a ...

Με ισοδυναμίες έχω:
$\begin{array}{l}
\sqrt[n]{{1 + \frac{{\sqrt[n]{n}}}{n}}} + \sqrt[n]{{1 - \frac{{\sqrt[n]{n}}}{n}}} < 2 \Leftrightarrow \sqrt[n]{{n + \sqrt[n]{n}}} + \sqrt[n]{{n - \sqrt[n]{n}}} < 2\sqrt[n]{n} \Leftrightarrow \sqrt[n]{{n + \sqrt[n]{n}}} - \sqrt[n]{n} < \sqrt[n]{n} - \sqrt[n]{{n ...

Μια προσπάθεια (παρακαλώ πείτε μου αν κάνω λάθος στις υποθέσεις):

Έστω ότι $a > 1,b > 1,c > 1$. Τότε οδηγούμαστε σε άτοπο αφού:
$1 \le\sum{\frac{1}{{1 + a + b}}} < \sum{\frac{1}{3}} = 1$

Άρα, για ένα τουλάχιστον από τα $a,b,c$ ισχύει (ας υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας για το α) ότι: $1 \ge ...

**Ζητώντας την άδεια του εισηγητή του θέματος δηλ. του Θάνου, ας μου επιτραπεί, και σε style Open Question, κύρια πρός τους φίλους Seniors:
Ισχύει το παραπάνω θεώρημα του Πτολεμαίου και σε μή κυρτό τετράπλευρο;

Κάνω μια προσπάθεια να απαντήσω.
Έστω ABCD μη-κυρτό τετράπλευρο με A την κορυφή με ...

Από την ανισότητα Jensen έχουμε πως $f(1)+f(5) \geq 2f(3) \Leftrightarrow 2f(1)+2f(5) \geq 4f(3)$.
Από την ίδια ανισότητα είναι και $f(1)+f(9) \geq 2f(5) \Leftrightarrow 3f(1)+3f(9) \geq 6f(5)$.
Προσθέτοντας τες παίρνουμε $5f(1) +3f(9) \geq 4f(3)+4f(5)$.
Αλλά πάλι από την Jensen $f(3)+f(5) \geq 2f ...